sujet : amérique du sud

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

1. Déterminer l'abscisse du point B (la valeur exacte est demandée).

   La courbe $\left(C_f\right)$ coupe l'axe des abscisses en $A\left(1;0\right)$ et en B alors l'abscisse du point B est l'une des solutions de l'équation $$\begin{array}{ccc}f\left(x\right)=0& \iff & \left(2-\ln x\right)\ln x=0\end{array}$$

   Soit $$\begin{array}{rrr}2-\ln x=0& \text{ou}& \ln x=0\\ \ln x=2& & x=1\\ x={\mathrm{e}}^2& & \end{array}$$

   Or l'abscisse du point A est égale à 1 donc

   L'abscisse du point B est égale à ${\mathrm{e}}^2$.

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2. Calculer la limite de f en 0 et la limite de f en $+\infty$.

   • $\underset{x\to 0}{\lim }\ln x=-\infty$ d'où $\underset{x\to 0}{\lim }2-\ln x=+\infty$ donc par produit, $\underset{x\to 0}{\lim }\left(2-\ln x\right)\ln x=-\infty$.

   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }\ln x=+\infty$ d'où $\underset{x\to +\infty }{\lim }2-\ln x=-\infty$ donc par produit, $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2-\ln x\right)\ln x=-\infty$.

   Ainsi, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

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3. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f sur $\left]0;+\infty \right[$.

   1. Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2\left(1-\ln x\right)}{x}}$

      $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=2-\ln x& \text{donc}& u\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{x}}\\ v\left(x\right)=\ln x& \text{donc}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{x}}\times \ln x+\left(2-\ln x\right)\times {\displaystyle \frac{1}{x}}& \iff & f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-\ln x+2-\ln x}{x}}\\ & \iff & f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2-2\ln x}{x}}\\ & \iff & f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2\left(1-\ln x\right)}{x}}\end{array}$$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2\left(1-\ln x\right)}{x}}$

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   2. Déterminer les coordonnées du point C et l'ordonnée du point D (les valeurs exactes sont demandées).

      • La tangente en C à la courbe $\left(C_f\right)$ est parallèle à l'axe des abscisses alors l'abscisse x du point C est solution de l'équation $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)=0& \iff & {\displaystyle \frac{2\left(1-\ln x\right)}{x}}=0\end{array}$$

        Soit $$\begin{array}{rrr}1-\ln x=0& \iff & \ln x=1\\ & \iff & x=\mathrm{e}\end{array}$$

        C est un point de la courbe $\left(C_f\right)$ donc ses coordonnées sont $C\left(\mathrm{e};f\left(\mathrm{e}\right)\right)$. Or $$f\left(\mathrm{e}\right)=\left(2-\ln \mathrm{e}\right)\times \ln \mathrm{e}=1$$

        Les coordonnées du point C sont $C\left(\mathrm{e};1\right)$.

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      • Une équation de la droite (AD) tangente à la courbe $\left(C_f\right)$ au point $A\left(1;0\right)$ est donnée par la relation $$y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

        Avec $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{2\left(1-\ln 1\right)}{1}}=2& \text{et}& f\left(1\right)=0\end{array}$$

        D'où l'équation de la droite (AD) : $$\begin{array}{ccc}y=2\times \left(x-1\right)& \iff & y=2x-2\end{array}$$

        D est le point d'intersection de la droite (AD) avec l'axe des ordonnées. Donc

        Les coordonnées du point D sont $D\left(0;-2\right)$.

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4. 1. Soit la fonction g définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $g\left(x\right)=x\left[f\left(x\right)+2\ln x-4\right]$. Démontrer que g est une primitive de f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      Dire que g est une primitive de f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$

      Calculons la dérivée de la fonction g

      $g=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=x& \text{donc}& u\prime \left(x\right)=1\\ v\left(x\right)=f\left(x\right)+2\ln x-4& \text{donc}& v\prime \left(x\right)=f\prime \left(x\right)+{\displaystyle \frac{2}{x}}\end{array}$

      Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $$\begin{array}{lll}g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)+2\ln x-4+x\times \left(f\prime \left(x\right)+{\displaystyle \frac{2}{x}}\right)& \text{Soit}& g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)+2\ln x-4+x\left({\displaystyle \frac{2\left(1-\ln x\right)}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x}}\right)\\ & \iff & g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)+2\ln x-4+2\left(1-\ln x\right)+2\\ & \iff & g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)\end{array}$$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $g\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ alors g est une primitive de f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

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   2. Calculer ${\displaystyle {\int }_1^{{\mathrm{e}}^2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ et donner une interprétation géométrique de cette intégrale.

      $$\begin{array}{lll}{\displaystyle {\int }_1^{{\mathrm{e}}^2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {[g\left(x\right)]}_1^{{\mathrm{e}}^2}}\\ & =& g\left({\mathrm{e}}^2\right)-g\left(1\right)\\ & =& \left({\mathrm{e}}^2\times \left[f\left({\mathrm{e}}^2\right)+2\ln {\mathrm{e}}^2-4\right]\right)-\left(f\left(1\right)+2\ln 1-4\right)\\ & =& {\mathrm{e}}^2\times \left(0+2\times 2-4\right)-\left(0+2\times 0-4\right)\\ & =& 4\end{array}$$

      Ainsi, ${\displaystyle {\int }_1^{{\mathrm{e}}^2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=4$

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      Sur l'intervalle $\left[1;{\mathrm{e}}^2\right]$, la fonction continue f est positive ou nulle alors, d'après le lien entre l'intégrale et aire :Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
      Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

      L'intégale ${\displaystyle {\int }_1^{{\mathrm{e}}^2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ mesure en unités d'aire, l'aire du domaine délimité par la courbe $\left(C_f\right)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x={\mathrm{e}}^2$.

      L'aire du domaine compris entre la courbe $\left(C_f\right)$ et l'axe des abscisses pour $1⩽x⩽{\mathrm{e}}^2$ est égale à 4 unités d'aire.

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