sujet : amérique du sud

énoncé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On considère la fonction f définie pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;7\right]$ et tout réel y de l'intervalle $\left[0;5\right]$ par $f\left(x;y\right)=4x+3y+xy$.

Les parties A et B sont indépendantes.

partie a

On appelle S la surface représentant la fonction f dans un repère orthogonal de l'espace.
La figure ci-après, à rendre avec la copie, donne une vue de la surface S.

1. A est le point de S d'abscisse 3 et d'ordonnée 4, B est le point de S d'ordonnée 2 et de cote 40.

   1. Placer les points A et B sur la figure.

   2. Déterminer la valeur exacte de la cote du point A et la valeur exacte de l'abscisse du point B.

2. On appelle L l'intersection de la surface S et du plan d'équation $y=4$.
   Déterminer la nature de l'ensemble L et surligner en couleur cet ensemble sur la figure.

partie b

Les activités d'une grosse entreprise sont réparties entre deux secteurs : le secteur P (production) et le secteur C (commercialisation).
Cette entreprise envisage d'investir au cours de l'année 2008 jusqu'à 7 millions d'euros dans le secteur P et jusqu'à 5 millions d'euros dans le secteur C.
Le service chargé d'évaluer l'effet de ces investissements sur le chiffre d'affaire 2009 de l'entreprise, propose le modèle suivant :
Pour $0⩽x⩽7$ et $0⩽y⩽5$, si l'entreprise investit au cours de l'année 2008, x millions d'euros dans le secteur P et y millions d'euros dans le secteur C, cela entraînera en 2009 une hausse du chiffre d'affaire égale à $f\left(x;y\right)$ millions d'euros.

1. Déterminer la hausse du chiffre d'affaire 2009 prévue par ce modèle dans chacun des cas suivants :

   1. $x=3$ et $y=5$ ;

   2. $x=7$ et $y=1$.

2. On suppose que l'entreprise décide de fixer à 8 millions d'euros le montant total des investissements prévus au cours de l'année 2008.

   1. Montrer que, sous cette contrainte, on peut exprimer $f\left(x;y\right)$ en fonction de x seulement.
      On note $g\left(x\right)$ l'expression ainsi obtenue. Vérifier que $g\left(x\right)=-x^2+9x+24$.

   2. Selon le modèle proposé, comment faudra-t-il répartir entre les secteurs P et C les 8 millions euros à investir au cours de l'année 2008 pour obtenir une hausse maximale du chiffre d'affaire de l'année 2009 ?

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