Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

correction de l'exercice 1 : commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse que vous jugez convenir, sans justifier votre choix.
Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte ou une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.

Voici la courbe représentative d'une fonction f sur l'intervalle $[0; 6 [$ :
Sur l'intervalle $[0; 6 [$ , la fonction composée $x ⟼ \ln [f (x)]$
Sur l'intervalle $] 0; + \infty [$ , la fonction $\ln$ est strictement croissante donc la fonction composée de la fonction f suivie de la fonction $\ln$ a les mêmes variations que la fonction f sur tout intervalle où f est strictment positive.
- est strictement croissante.
- a les mêmes variations que f.
- a les variations contraires de celles de f.
Soit g la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ par $g (x) = 4 x - 2 \ln x$ .
Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 1 est :
La fonction g est dérivable sur $] 0; + \infty [$ et sa dérivée est $g' (x) = 4 - \frac{2}{x}$ . une équation de la tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 1 est : $\begin{array}{l} y = g' (1) \times (x - 1) + g (1) & \Leftrightarrow & y = (4 - \frac{2}{1}) \times (x - 1) + 4 \times 1 - 2 \ln 1 \\ \Leftrightarrow & y = 2 \times (x - 1) + 4 \\ \Leftrightarrow & y = 2 x + 2 \end{array}$
- $y = 2 x + 2$ .
- $y = 4 x - 2$ .
- $y = 2 x + 6$ .
L'ensemble des solutions de l'équation $2 \ln x = \ln (2 x + 3)$ est :
On peut répondre à cette question
- soit par élimination
  La fonction $\ln$ est définie sur $] 0; + \infty [$ , par conséquent l'équation $2 \ln x = \ln (2 x + 3)$ est définie pour $\begin{matrix} {\begin{array}{r} x > 0 \\ 2 x + 3 > 0 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{r} x > 0 \\ x > - \frac{3}{2} \end{array} \end{matrix}$
  Nous pouvons donc éliminer la deuxième réponse. D'autre part, $\begin{matrix} 2 \ln 3 = \ln 9 & et & \ln (2 \times 3 + 3) = \ln 9 \end{matrix}$
  Donc la réponse exacte est la troisième réponse.
- soit résoudre l'équation
  $\begin{array}{l} 2 \ln x = \ln (2 x + 3) & \Leftrightarrow & {\begin{matrix} \ln x^{2} = \ln (2 x + 3) \\ x > 0 et 2 x + 3 > 0 \end{matrix} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} x^{2} = 2 x + 3 \\ x > 0 \end{matrix} \end{array}$
  Cherchons les solutions éventuelles strictement positives de l'équation $x^{2} = 2 x + 3 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0$
  Le discriminant $Δ = 4 - 4 \times (- 3) = 16$ . $Δ > 0$ d'où $\begin{array}{l} x_{1} = \frac{2 - 4}{2} = - 1 & et & x_{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \end{array}$
  $x_{2} = 3$ est la seule solution comprise dans l'intervalle $] 0; + \infty [$ donc l'équation $2 \ln x = \ln (2 x + 3)$ admet une seule solution.
- l'ensemble vide.
- ${- 1; 3}$ .
- ${3}$ .

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