sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise fabrique des savons et des bougies parfumées en quantités respectives x et y exprimées en tonnes.
Le coût total de production z, exprimé en milliers d'euros, est donné par la relation $z=2x^2-8x+y^2-6y+18$ avec $x\in \left[0;6\right]$ et $y\in \left[0;8\right]$.

1. La surface S représentant le coût en fonction de x et de y dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$ est donnée dans la figure 1 ci-dessous.

   figure 1

   1. Le point $A\left(3;2;3\right)$ appartient-il à la surface S ? Justifier.

      Les coordonnées du point $A\left(3;2;3\right)$ vérifient-elles l'équation de la surface S ?

   2. Placer, sur la figure 1, le point B d'abscisse 5 et d'ordonnée 2 qui appartient à S.

      Que représente l' intersection des lignes de niveau $x=5$ et $y=2$ ?

   3. Soit $y=2$. Exprimer alors z sous 1a forme $z=f\left(x\right)$ puis donner la nature de la section de la surface S par le plan d'équation $y=2$ en justifiant.

2. La fabrication de x tonnes de savons et de y tonnes de bougies parfumées engendre la contrainte : $x+y=5$.

   1. Quelle est la nature de l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient $x+y=5$ ?

   2. Vérifier que, sous la contrainte $x+y=5$, z peut s'écrire sous la forme $z=g\left(x\right)$ avec $g\left(x\right)=3x^2-12x+13$.

   3. Déterminer la valeur de x pour laquelle g admet un minimum puis la valeur de y et le coût de production z qui correspondent.
      On note C le point de la surface S qui correspond à ce coût minimum.

      g est une fonction polynôme du second degré.

   4. Sur la figure 2 ci-dessous, on donne la projection orthogonale de la surface S sur le plan (xOy) (« vue de dessus de la surface S »).

      Construire sur cette figure 2, la projection orthogonale sur le plan (xOy) des points dont les coordonnées vérifient $x+y=5$ .
      Placer sur cette figure 2 le point $C_1$, projeté orthogonal du point C sur le plan (xOy).

      figure 2

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