sujet : Polynésie

correction de l'exercice 3 : commun à tous les candidats

1. Calculer l'augmentation, en pourcentage, du montant des ventes entre 1999 et 2000 puis entre 2000 et 2001. On exprimera ces pourcentages par un nombre entier en effectuant un arrondi.
   Peut-on additionner ces augmentations successives pour obtenir le pourcentage d'augmentation entre 1999 et 2001? Justifier.

   Pourcentage d 'augmentation du montant des ventes :

   • entre 1999 et 2000 $${\displaystyle \frac{584-332}{332}}\approx \mathrm{0,854}\mathrm{}$$

     Soit une augmentation du montant des ventes d'environ 85%.

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   • entre 2000 et 2001 $${\displaystyle \frac{332-179}{179}}\approx \mathrm{0,759}\mathrm{}$$

     Soit une augmentation du montant des ventes d'environ 76%.

     ---

   Les pourcentages d'évolution successsifs ne s'ajoutent pas car ils ne portent pas sur la même quantité. En effet, le pourcentage d'augmentation des ventes entre 1999 et 2001 est $${\displaystyle \frac{584-179}{179}}\approx \mathrm{2,262}\mathrm{}$$

   Soit une augmentation du montant des ventes d'environ 226%.

   Pour obtenir le pourcentage d'augmentation entre 1999 et 2001 à partir des pourcentages d'évolution successifs, il faut utiliser les coefficients multiplicateurs $$\mathrm{1,85}\times \mathrm{1,76}=\mathrm{3,256}$$ Soit une augmentation du montant des ventes d'environ 226%.

   On ne peut pas additionner ces augmentations successives pour obtenir le pourcentage d'augmentation entre 1999 et 2001.

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2. La rapidité de la croissance suggère un ajustement de type exponentiel. On pose $z_i=\ln \left(y_i\right)$.

   1. Présenter la série statistique $\left(x_i;z_i\right)$ dans un tableau en arrondissant les valeurs de $z_i$ au centième.

      Rang de l'année $x_i$	1	2	3	4	5	6
      $z_i=\ln \left(y_i\right)$	5,19	5,81	6,37	7,00	7,89	8,33

   2. Donner une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés, les coefficients seront arrondis au centième.

      Une équation de la droite de régression de z en x obtenue à l'aide de la calculatrice (coefficients arrondis arrondis à 10⁻²) est : $$z=\mathrm{0,64}x+\mathrm{4,51}$$

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   3. En utilisant cet ajustement, donner une estimation du montant des ventes pour l'année 2008, arrondie au millier d'euros.

      Le rang de l'année 2008 est 10, d'où une estimation de $z_{10}$ à l'aide de ce modèle : $$z_{10}=\mathrm{0,64}\times 10+\mathrm{4,51}=\mathrm{10,91}$$

      Or pour tout réel $y>0$$z=\ln y\iff y={\mathrm{e}}^z$ d'où $$\begin{array}{llll}z=\ln y\text{ et }z=\mathrm{10,91}& \iff & y={\mathrm{e}}^{\mathrm{10,91}}& \approx \mathrm{54720,8}\end{array}$$

      Arrondie au millier d'euros, l'estimation du montant des ventes pour l'année 2008 est de 54 721 milliers d'euros.

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3. Du fait de l'apparition des téléphones mobiles avec appareil photo intégré, on a observé un ralentissement dans la progression des ventes, avec un montant de 5027 milliers d'euros en 2005 puis une diminution de 10% en 2006.

   1. Calculer le montant des ventes, arrondi au millier d'euros, pour 2006.

      Le coefficient multiplicateur associé à une diminution de 10% est égal à 0,9. $\left(1-\mathrm{0,1}=\mathrm{0,9}\right)$. Le montant des ventes pour 2006 est :$$5027\times \mathrm{0,9}=\mathrm{4524,3}$$

      Arrondi au millier d'euros, le montant des ventes pour l'année 2006 est de 4 524 milliers d'euros.

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   2. En supposant qu'après 2006 le montant des ventes continuera de baisser de 10% par an, quelle prévision peut-on faire pour 2008 ? (On arrondira le montant au millier d'euros)

      Le coefficient multiplicateur associé à une diminution de 10% par an pendant trois ans est égal à ${\mathrm{0,9}}^3$ . D'où une estimation du montant des ventes en 2008 : $$5027\times {\mathrm{0,9}}^3=\mathrm{3664,683}$$

      En supposant que le montant des ventes baisse de 10% par an, en 2008 il vaudra 3 665 milliers d'euros. (montant arrondi au millier d'euros)

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