sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. Recopier et compléter le tableau suivant

   • 150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l'un de ces stages donc le nombre d'enfants inscrits à ce stage est égal à 60.

   • la magie a été choisie par la moitié des enfants et 20% des adultes donc 30 enfants ont choisi la magie ainsi que 18 adultes.

   • 10% des enfants ont opté pour la photo numérique soit 6 enfants.

   Le nombre d'adultes ayant choisi le théâtre est donc : $$90-\left(27+18\right)=45$$

   Le nombre d'enfants ayant choisi le théâtre est donc : $$60-\left(30+6\right)=24$$

   Nous pouvons compléter le tableau des effectifs :

   	Magie	Théâtre	Photo numérique	Total
   Adultes	18	45	27	90
   Enfants	30	24	6	60
   Total	48	69	33	150

2. 1. Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un enfant ?

      La probabilité que la personne appelée soit un enfant est $p\left(\overline{A}\right)={\displaystyle \frac{60}{150}}$. Soit $p\left(\overline{A}\right)={\displaystyle \frac{2}{5}}$

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   2. Quelle est la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que c'est un adulte ?

      La probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que c'est un adulte est $p_A\left(N\right)={\displaystyle \frac{27}{90}}$. Soit $p_A\left(N\right)={\displaystyle \frac{3}{10}}$

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   3. Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre ?

      La probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre est $p\left(A\cap T\right)={\displaystyle \frac{45}{150}}$. Soit $p\left(A\cap T\right)={\displaystyle \frac{3}{10}}$

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3. Montrer que la probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est 0,32.

   La probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est $p\left(M\right)={\displaystyle \frac{48}{150}}$. Soit $p\left(M\right)={\displaystyle \frac{8}{25}}=\mathrm{0,32}$

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4. Le directeur du village désigne une personne ayant choisi la magie. Il dit qu'il y a deux chances sur trois pour que ce soit un enfant. A-t-il raison ? Justifier votre réponse.

   Calculons $$\begin{array}{ccccccc}{p}_M\left(\overline{A}\right)& =& {\displaystyle \frac{p\left(\overline{A}\cap M\right)}{p\left(M\right)}}& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{30}{150}}}{\mathrm{0,32}}}& =& \mathrm{0,625}\end{array}$$

   ou bien par lecture du tableau $$\begin{array}{ccccccc}{p}_M\left(\overline{A}\right)& =& {\displaystyle \frac{30}{48}}& =& {\displaystyle \frac{5}{8}}& =& \mathrm{0,625}\end{array}$$

   $p_M\left(\overline{A}\right)=\mathrm{0,625}$ par conséquent, le directeur à tort en affirmant qu'il y a deux chances sur trois pour que la personne appelée soit un enfant sachant qu'elle a choisi la magie

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5. On choisit, parmi les personnes qui désirent suivre un stage, trois personnes au hasard. On assimile ce choix à un tirage avec remise.
   Quelle est la probabilité qu'une seule personne ait choisi la magie (on donnera une valeur arrondie au centième)

   La probabilité qu'une personne appelée n'ait pas choisi la magie est $p\left(\overline{M}\right)=1-p\left(M\right)=1-\mathrm{0,32}=\mathrm{0,68}$

   Le choix de trois personnes au hasard, est assimilé à trois tirages successifs avec remise. Il s'agit donc de la répétition de trois épreuves de Bernoulli indépendantes.

   La loi de probabilité associée au nombre de personnes ayant choisi la magie est une loi binomiale de paramètres 3 et 0,32 qui peut être représentée par l'arbre ci-dessous :

   L'évènement : « une seule des trois personnes a choisi la magie » peut être obtenu selon les trois chemins en rouge de l'arbre ci-dessus $\left\{M\overline{M}\overline{M};\overline{M}M\overline{M};\overline{M}\overline{M}M\right\}$. Les évènements correspondants à ces tois chemins ont la même probabilité d'où la probabilité cherchée : $$3\times {\mathrm{0,32}}^{\mathrm{}}\times {\mathrm{0,68}}^2\approx \mathrm{0,4439}$$

   Arrondie au centième, la probabilité qu'il y ait, parmi ces trois personnes une seule personne qui ait choisi la magie est 0,44.

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