Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Dans une entreprise, on a modélisé le bénéfice réalisé, en milliers d'euros, pour la vente de x centaines d'appareils par la fonction f définie sur l'intervalle ]0;+[ par f(x)=-2x+(e2-1)lnx+2

La courbe de la fonction f est donnée sur la figure ci-dessous :

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Vérifier par le calcul que f(1)=0 et f(e2)=0.

    f(1)=-2×1+(e2-1)×ln1+2=-2+(e2-1)×0+2=0

    f(e2)=-2×e2+(e2-1)×lne2+2=-2e2+(e2-1)×2×lne+2=-2e2+(e2-1)×2+2=0

  2. À l'aide du graphique, déterminer approximativement :

    1. le nombre d'appareils que l'entreprise doit fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice ;


      Sur le graphique, la fonction atteint un maximum pour x3,2.

      Graphiquement, l'entreprise doit vendre environ 320 appareils pour réaliser un bénéfice maximal d'environ 3 000 €.


    2. les valeurs de x pour lesquelles le bénéfice réalisé est positif ou nul.

      Graphiquement, le bénéfice réalisé est positif ou nul pour les abscisses des points de la courbe situés au dessus de l'axe des abscisses.

      Le bénéfice réalisé est positif ou nul pour les réels x[1;e2].


      Remarque :
      e27,389. Donc le bénéfice réalisé est positif ou nul pour la vente d'un nombre d'appareils compris entre 100 et 738.

    1. Déterminer la dérivée f de la fonction f sur l'intervalle ]0;+[.

      La fonction f définie sur ]0;+[ par f(x)=-2x+(e2-1)lnx+2 est dérivable et pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[, f(x)=-2+(e2-1)×1x=-2+e2-1x=-2x+e2-1x

      La dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur ]0;+[ par f(x)=-2x+e2-1x.


    2. Étudier le signe de f(x) et en déduire le sens de variation de la fonction f.

      f est définie sur ]0;+[ donc f(x) est du même signe que -2x+e2-1.

      D'où f(x)<0-2x+e2-1<0-2x<1-e2x>e2-12

      et f(x)=0-2x+e2-1=02x=e2-1x=e2-12

      Les variations de f se déduisent du signe de la dérivée d'où le tableau des variations de f

      x0 e2-12 +
      Signe de f(x)  +0|| 
      Variations de f     fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.  fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.  
    3. En déduire le nombre d'appareils vendus par cette entreprise quand elle réalise le bénéfice maximal (le résultat sera arrondi à l'unité)

      D'après les variations de la fonction f, le maximum est atteint pour x=e2-123,194

      Le bénéfice maximal est réalisé pour la vente de 319 appareils.


  3. Parmi les courbes données ci-dessous, une seule correspond à celle d'une primitive de f. Déterminer la courbe qui convient, en expliquant votre choix (on pourra s'appuyer sur le signe de f(x)).

    courbe de F1

    courbe de F2

    Courbe représentative de la fonction F1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe représentative de la fonction F2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    courbe de F3

    Courbe représentative de la fonction F3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Dire que F est une primitive de f sur ]0;+[ signifie que pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[, F(x)=f(x) . Les variations de F se déduisent du signe de f.

    Pour tout réel x de l'intervalle ]0;1[, f(x)<0. Donc toute primitive F de f est strictement décroissante sur ]0;1[. Par conséquent, seules les courbes représentatives de F2 et F3 peuvent convenir.

    Pour tout réel x de l'intervalle ]1;e2[, f(x)>0. Donc toute primitive F de f est strictement croissante sur ]1;e2[. Or 7<e2<8. Par conséquent, seule la courbe représentative de F2 peut convenir.

    La courbe de F2 est la seule courbe susceptible de représenter une primitive de f.


  4. En utilisant le résultat de la question précédente, en déduire, par une lecture graphique, une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré dans la figure ci-dessus.

    Courbe représentative de la fonction F2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Sur l'intervalle [1;e2] la fonction f est continue et positive alors, l'aire du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction f l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=e2 , mesurée en unités d'aire, est d'après le lien entre l'intégrale et aire :Soit a et b deux réels tels que ab, f une fonction définie et continue sur l'intervalle [a;b] et 𝒞 sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O;𝚤,ȷ) .
    Si, pour tout réel x de l'intervalle [a;b],  f(x)0, alors abf(x)dx est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe 𝒞, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.
    1e2f(x)dx=F2(e2)-F2(1)

    Sur le graphique, nous pouvons lire les valeurs approchées de F2(e2)9,4 et F1(1)-3,4 . Par conséquent, 1e2f(x)dx=F2(e2)-F2(1)9,4-(-3,4)12,8

    Mesurée en unités d'aire, une valeur approchée obtenue à partir de la courbe représentative de la fonction F2, du domaine compris entre la courbe représentative de la fonction f l'axe des abscisses et les droites d'équation x=1 et x=e2 est 12,8 u.a


    1. Démontrer que la fonction F définie sur l'intervalle ]0;+[ par F(x)=-x2+(3-e2)x+(e2-1)xlnx est une primitive de f.

      Dire que F est une primitive de f sur ]0;+[ signifie que pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[, F(x)=f(x).

      Pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[, F(x)=-2x+(3-e2)+(e2-1)(lnx+x×1x)=-2x+(3-e2)+(e2-1)lnx+(e2-1)=-2x+(e2-1)lnx+2

      Ainsi, pour tout réel x de ]0;+[, F(x)=f(x) donc F est une primitive de f.


    2. Déterminer la valeur moyenne du bénéfice de l'entreprise sur l'intervalle où ce bénéfice est positif ou nul.

      Le bénéfice est positif ou nul sur l'intervalle [1;e2]. Soit μ la valeur moyenne de la fonction f sur [1;e2] d'après la définition de la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle :Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que a<b.
      On appelle valeur moyenne de la fonction f sur [a;b], le nombre :μ=1b-aabf(x)dx

      μ=1e2-11e2f(x)dx=1e2-1×[-x2+(3-e2)x+(e2-1)xlnx]1e2=1e2-1×[(-e4+(3-e2)×e2+(e2-1)×e2×lne22lne=2)-(-1+(3-e2)×1+(e2-1)×1×ln10)]=1e2-1×[-e4+3e2-e4+2e4-2e2+1-3+e2]=1e2-1×(2e2-2)=2

      La valeur moyenne du bénéfice de l'entreprise sur l'intervalle [1;e2] est égale à 2.



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