Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

Corrigé de l'exercice 2 : candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise fabrique des savons et des bougies parfumées en quantités respectives x et y exprimées en tonnes.
Le coût total de production z, exprimé en milliers d'euros, est donné par la relation $z = 2 x^{2} - 8 x + y^{2} - 6 y + 18$ avec $x \in [0; 6]$ et $y \in [0; 8]$ .

La surface S représentant le coût en fonction de x et de y dans un repère orthogonal $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ est donnée dans la figure 1 ci-dessous.
figure 1
1. Le point $A (3; 2; 3)$ appartient-il à la surface S ? Justifier.
  $3 \in [0; 6]$ , $2 \in [0; 8]$ et $2 \times 3^{2} - 8 \times 3 + 2^{2} - 6 \times 2 + 18 = 4$
  Les coordonnées du point $A (3; 2; 3)$ ne vérifient pas l'équation de la surface S alors le point A n'appartient pas à la surface S.
2. Placer, sur la figure 1, le point B d'abscisse 5 et d'ordonnée 2 qui appartient à S.
  La représentation de la figure 1 n'est pas en perspective cavalière, il est plus facile de repérer le point B comme point d'intersection des lignes de niveau $x = 5$ et $y = 2$ . On peut également calculer la cote du point B : $z = 2 \times 5^{2} - 8 \times 5 + 2^{2} - 6 \times 2 + 18 = 20$
  Par conséquent B est un point de la ligne de niveau $z = 20$ . On place donc sur la figure 1 le point B à l'intersection des lignes de niveau $x = 5$ , $y = 2$ ou $z = 20$ .
3. Soit $y = 2$ . Exprimer alors z sous 1a forme $z = f (x)$ puis donner la nature de la section de la surface S par le plan d'équation $y = 2$ en justifiant.
  Si $y = 2$ , alors $\begin{array}{l} z = 2 x^{2} - 8 x + 2^{2} - 6 \times 2 + 18 & \Leftrightarrow & z = 2 x^{2} - 8 x + 10 \end{array}$
  La section de la surface S par le plan d'équation $y = 2$ est donc l'ensemble des points $M (x; y; z)$ tels que ${\begin{array}{rcl} z & = & 2 x^{2} - 8 x + 10 \\ y & = & 2 \end{array}$ .
  Dans le plan d'équation $y = 2$ , la ligne de niveau $y = 2$ est la courbe d'équation $z = 2 x^{2} - 8 x + 10$ . C'est donc une parabole.
La fabrication de x tonnes de savons et de y tonnes de bougies parfumées engendre la contrainte : $x + y = 5$ .
1. Quelle est la nature de l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient $x + y = 5$ ?
  L'ensemble des points $M (x; y; z)$ dont les coordonnées vérifient $x + y = 5$ est un plan parallèle à l'axe $(O z)$ .
2. Vérifier que, sous la contrainte $x + y = 5$ , z peut s'écrire sous la forme $z = g (x)$ avec $g (x) = 3 x^{2} - 12 x + 13$ .
  $x + y = 5 \Leftrightarrow y = 5 - x$ . Donc sous la contrainte $x + y = 5$ , z peut s'écrire sous la forme $\begin{array}{l} z = 2 x^{2} - 8 x + {(5 - x)}^{2} - 6 \times (5 - x) + 18 & \Leftrightarrow & z = 2 x^{2} - 8 x + x^{2} - 10 x + 25 - 30 + 6 x + 18 \\ \Leftrightarrow & z = 3 x^{2} - 12 x + 13 \end{array}$
  Sous la contrainte $x + y = 5$ , $z = 3 x^{2} - 12 x + 13$ .
3. Déterminer la valeur de x pour laquelle g admet un minimum puis la valeur de y et le coût de production z qui correspondent.
  On note C le point de la surface S qui correspond à ce coût minimum.
  La fonction g définie par $g (x) = 3 x^{2} - 12 x + 13$ est une fonction polynôme du second degré avec $a = 3$ , $b = - 12$ et $c = 13$ .
  g admet donc un minimum pour $x = - \frac{b}{2 a}$ soit pour $x = \frac{12}{2 \times 3} = 2$
  La valeur de y correspondante à ce minimum est $y = 5 - 2 = 3$
  La valeur de z correspondante à ce minimum est $z = 3 \times 2^{2} - 12 \times 2 + 13 = 1$
  Les coordonnées du point C sont $C (2; 3; 1)$ . Sous la contrainte d'une production totale de 5 tonnes, le coût de production minimal est de 1 000 € atteint avec une production de 2 tonnes de savons et 3 tonnes de bougies parfumées.
4. Sur la figure 2 ci-dessous, on donne la projection orthogonale de la surface S sur le plan (xOy) (« vue de dessus de la surface S »).
  Construire sur cette figure 2, la projection orthogonale sur le plan (xOy) des points dont les coordonnées vérifient $x + y = 5$ .
  Placer sur cette figure 2 le point $C_{1}$ , projeté orthogonal du point C sur le plan (xOy).
  figure 2
  L'intersection du plan d'équation $x + y = 5$ avec le plan de base (xOy) est une droite. Son équation dans le plan de base (xOy) est $x + y = 5$ .
  Le projeté orthogonal du point $C (2; 3; 1)$ sur le plan de base (xOy) est le point $C_{1} (2; 3; 0)$

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