sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 4 : commun à tous les candidats

Dans une entreprise, on a modélisé le bénéfice réalisé, en milliers d'euros, pour la vente de x centaines d'appareils par la fonction f définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=-2x+\left({\mathrm{e}}^2-1\right)\ln x+2$

La courbe de la fonction f est donnée sur la figure ci-dessous :

1. Vérifier par le calcul que $f\left(1\right)=0$ et $f\left({\mathrm{e}}^2\right)=0$.

2. À l'aide du graphique, déterminer approximativement :

   1. le nombre d'appareils que l'entreprise doit fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice ;

   2. les valeurs de x pour lesquelles le bénéfice réalisé est positif ou nul.

3. 1. Déterminer la dérivée $f\prime$ de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ et en déduire le sens de variation de la fonction f.

   3. En déduire le nombre d'appareils vendus par cette entreprise quand elle réalise le bénéfice maximal (le résultat sera arrondi à l'unité)

4. Parmi les courbes données ci-dessous, une seule correspond à celle d'une primitive de f. Déterminer la courbe qui convient, en expliquant votre choix (on pourra s'appuyer sur le signe de $f\left(x\right)$).

   Dire que F est une primitive de f sur $\left]0;+\infty \right[$ signifie que pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$

   courbe de $F_1$	courbe de $F_2$
   courbe de $F_3$

5. En utilisant le résultat de la question précédente, en déduire, par une lecture graphique, une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré dans la figure ci-dessus.

   propriété

   Soit a et b deux réels tels que $a⩽b$, f une fonction définie et continue sur l'intervalle $\left[a;b\right]$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{ȷ}\right)$ .
   Si, pour tout réel x de l'intervalle $\left[a;b\right]$,  $f\left(x\right)⩾0$, alors ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $𝒞$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.

6. 1. Démontrer que la fonction F définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)=-x^2+\left(3-{\mathrm{e}}^2\right)x+\left({\mathrm{e}}^2-1\right)x\ln x$ est une primitive de f.

   2. Déterminer la valeur moyenne du bénéfice de l'entreprise sur l'intervalle où ce bénéfice est positif ou nul.

      définition

      Soit I un intervalle, f une fonction continue sur I et a, b deux réels appartenant à I tels que $a<b$.
      On appelle valeur moyenne de la fonction f sur $\left[a;b\right]$, le nombre :$$\mu ={\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{b-a}}{\int }_a^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$$

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