Baccalauréat juin 2007 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet: Polynésie

exercice 1 ( 3 points ) commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des trois questions, trois réponses sont proposées ; une seule de ces réponses convient.
Indiquer sur votre copie le numéro de la question et recopier la réponse que vous jugez convenir, sans justifier votre choix.
Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte ou une question sans réponse ne rapporte et n'enlève aucun point.

  1. Voici la courbe représentative d'une fonction f sur l'intervalle 06 :

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    Sur l'intervalle 06, la fonction composée xlnfx

    • est strictement croissante.

    • a les mêmes variations que f.

    • a les variations contraires de celles de f.

  2. Soit g la fonction définie sur 0+ par gx=4x-2lnx.
    Dans un repère, une équation de la tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 1 est :

    • y=2x+2.

    • y=4x-2.

    • y=2x+6.

  3. L'ensemble des solutions de l'équation 2lnx=ln2x+3 est :

    • l'ensemble vide.
    • -13.

    • 3.


exercice 2 ( 5 points ) candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Dans un village de vacances, trois stages sont proposés aux adultes et aux enfants. Ils ont lieu dans la même plage horaire ;
leurs thèmes sont : la magie, le théâtre et la photo numérique.

150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l'un de ces stages. Parmi les 150 personnes inscrites, on relève que :

  1. Recopier et compléter le tableau suivant

     MagieThéâtrePhoto numériqueTotal
    Adultes    
    Enfants    
    Total   150

On appelle au hasard une personne qui s'est inscrite à un stage. On pourra utiliser les notations suivantes :

    1. Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un enfant ?

    2. Quelle est la probabilité que la personne appelée ait choisi la photo sachant que c'est un adulte ?

    3. Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre ?

  1. Montrer que la probabilité que la personne appelée ait choisi la magie est 0,32.

  2. Le directeur du village désigne une personne ayant choisi la magie. Il dit qu'il y a deux chances sur trois pour que ce soit un enfant. A-t-il raison ? Justifier votre réponse.

  3. On choisit, parmi les personnes qui désirent suivre un stage, trois personnes au hasard. On assimile ce choix à un tirage avec remise.
    Quelle est la probabilité qu'une seule personne ait choisi la magie (on donnera une valeur arrondie au centième)


exercice 2 ( 5 points ) candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Une entreprise fabrique des savons et des bougies parfumées en quantités respectives x et y exprimées en tonnes.
Le coût total de production z, exprimé en milliers d'euros, est donné par la relation z=2x2-8x+y2-6y+18 avec x06 et y08.

  1. La surface S représentant le coût en fonction de x et de y dans un repère orthogonal Oıȷk est donnée dans la figure 1 ci-dessous.

    figure 1

    Surface S : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    1. Le point A323 appartient-il à la surface S ? Justifier.

    2. Placer, sur la figure 1, le point B d'abscisse 5 et d'ordonnée 2 qui appartient à S.

    3. Soit y=2. Exprimer alors z sous 1a forme z=fx puis donner la nature de la section de la surface S par le plan d'équation y=2 en justifiant.

  2. La fabrication de x tonnes de savons et de y tonnes de bougies parfumées engendre la contrainte : x+y=5.

    1. Quelle est la nature de l'ensemble des points de l'espace dont les coordonnées vérifient x+y=5 ?

    2. Vérifier que, sous la contrainte x+y=5, z peut s'écrire sous la forme z=gx avec gx=3x2-12x+13.

    3. Déterminer la valeur de x pour laquelle g admet un minimum puis la valeur de y et le coût de production z qui correspondent.

      On note C le point de la surface S qui correspond à ce coût minimum.

    4. Sur la figure 2 ci-dessous, on donne la projection orthogonale de la surface S sur le plan (xOy) (« vue de dessus de la surface S »).

      Construire sur cette figure 2, la projection orthogonale sur le plan (xOy) des points dont les coordonnées vérifient x+y=5 .
      Placer sur cette figure 2 le point C1, projeté orthogonal du point C sur le plan (xOy).

      figure 2

      Projection orthogonale de la surface S : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

exercice 3 ( 5 points ) commun à tous les candidats

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du montant des ventes d'appareils photos numériques en France, en milliers d'euros, entre 1999 et 2004.

Année199920002001200220032004
Rang de l'année xi123456
Montant des ventes yi1793325841 0922 6754 164
  1. Calculer l'augmentation, en pourcentage, du montant des ventes entre 1999 et 2000 puis entre 2000 et 2001. On exprimera ces pourcentages par un nombre entier en effectuant un arrondi.

    Peut-on additionner ces augmentations successives pour obtenir le pourcentage d'augmentation entre 1999 et 2001? Justifier.

  2. La rapidité de la croissance suggère un ajustement de type exponentiel. On pose zi=lnyi.

    1. Présenter la série statistique xizi dans un tableau en arrondissant les valeurs de zi au centième.

    2. Donner une équation de la droite d'ajustement affine de z en x par la méthode des moindres carrés, les coefficients seront arrondis au centième.

    3. En utilisant cet ajustement, donner une estimation du montant des ventes pour l'année 2008, arrondie au millier d'euros.

  3. Du fait de l'apparition des téléphones mobiles avec appareil photo intégré, on a observé un ralentissement dans la progression des ventes, avec un montant de 5027 milliers d'euros en 2005 puis une diminution de 10% en 2006.

    1. Calculer le montant des ventes, arrondi au millier d'euros, pour 2006.

    2. En supposant qu'après 2006 le montant des ventes continuera de baisser de 10% par an, quelle prévision peut-on faire pour 2008 ? (On arrondira le montant au millier d'euros)


exercice 4 ( 7 points ) commun à tous les candidats

Dans une entreprise, on a modélisé le bénéfice réalisé, en milliers d'euros, pour la vente de x centaines d'appareils par la fonction f définie sur l'intervalle 0+ par fx=-2x+e2-1lnx+2

La courbe de la fonction f est donnée sur la figure ci-dessous :

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Vérifier par le calcul que f1=0 et fe2=0.

  2. À l'aide du graphique, déterminer approximativement :

    1. le nombre d'appareils que l'entreprise doit fabriquer pour réaliser un bénéfice maximal et le montant de ce bénéfice ;

    2. les valeurs de x pour lesquelles le bénéfice réalisé est positif ou nul.

    1. Déterminer la dérivée f de la fonction f sur l'intervalle 0+.

    2. Étudier le signe de fx et en déduire le sens de variation de la fonction f.

    3. En déduire le nombre d'appareils vendus par cette entreprise quand elle réalise le bénéfice maximal (le résultat sera arrondi à l'unité)

  3. Parmi les courbes données ci-dessous, une seule correspond à celle d'une primitive de f. Déterminer la courbe qui convient, en expliquant votre choix (on pourra s'appuyer sur le signe de fx).

    courbe de F1courbe de F2
    Courbe représentative de la fonction F1 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. Courbe représentative de la fonction F2 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    courbe de F3

    Courbe représentative de la fonction F3 : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  4. En utilisant le résultat de la question précédente, en déduire, par une lecture graphique, une valeur approchée (en unité d'aire) de l'aire du domaine hachuré dans la figure ci-dessus.

    1. Démontrer que la fonction F définie sur l'intervalle 0+ par Fx=-x2+3-e2x+e2-1xlnx est une primitive de f.

    2. Déterminer la valeur moyenne du bénéfice de l'entreprise sur l'intervalle où ce bénéfice est positif ou nul.



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