bac blanc du 9 Mars 2018

Corrigé de l'exercice 1

partie a

1. Déterminer une estimation du nombre d'adhérents au 1^er mars 2018.

   • Au 1^er février 2018 le nombre d'adhérents de l'association est :$$3000\times \left(1-{\displaystyle \frac{2}{100}}\right)+50=3000\times \mathrm{0,98}+50=2990$$

   • Au 1^er mars 2018 le nombre d'adhérents de l'association est :$$2990\times \mathrm{0,98}+50=\mathrm{2980,2}$$

   Au 1^er mars 2018 il devrait y avoir environ 2 980 adhérents.

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On modélise le nombre d'adhérents de l'association par la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_0=\mathrm{3 000}$ et, pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{0,98}{u}_n+50$.
Le terme $u_n$ donne ainsi une estimation du nombre d'adhérents de l'association au bout de n mois.

2. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par : $v_n=u_n-\mathrm{2 500}$.

   1. Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-\mathrm{2 500}\\ & =& \mathrm{0,98}{u}_n+50-\mathrm{2 500}\\ & =& \mathrm{0,98}{u}_n-\mathrm{2 450}\\ & =& \mathrm{0,98}\times \left(u_n-\mathrm{2 500}\right)\\ & =& \mathrm{0,98}{v}_n\end{array}$$

      Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n+1}=\mathrm{0,98}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,98 dont le premier terme $v_0=\mathrm{3 000}-\mathrm{2 500}=500$.

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   2. En déduire que, pour tout entier naturel n, $u_n=500\times {\mathrm{0,98}}^n+\mathrm{2 500}$.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,98 et de premier terme $v_0=500$ donc pour tout entier naturel n, on a :$$v_n=500\times {\mathrm{0,98}}^n$$

      Comme pour tout entier naturel n, $v_n=u_n-\mathrm{2 500}\iff u_n=v_n+\mathrm{2 500}$ on en déduit que :

      pour tout entier naturel n, $u_n=500\times {\mathrm{0,98}}^n+\mathrm{2 500}$.

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3. Étudier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.

   Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{u}_{n+1}-u_n& =& \left(500\times {\mathrm{0,98}}^{n+1}+\mathrm{2 500}\right)-\left(500\times {\mathrm{0,98}}^n+\mathrm{2 500}\right)\\ & =& 500\times {\mathrm{0,98}}^{n+1}-500\times {\mathrm{0,98}}^n\\ & =& 500\times {\mathrm{0,98}}^n\times \left(\mathrm{0,98}-1\right)\\ & =& -10\times {\mathrm{0,98}}^n\end{array}$$

   Or pour tout entier n, $-10\times {\mathrm{0,98}}^n<0$, donc :

   pour tout entier n, $u_{n+1}-u_n<0$. La suite $\left(u_n\right)$ est strictement décroissante.

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4. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

   $0<\mathrm{0,98}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{0,98}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }500\times {\mathrm{0,98}}^n+\mathrm{2 500}=\mathrm{2 500}$. Soit $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\mathrm{2 500}$.

   La suite $\left(u_n\right)$ converge vers 2 500. À partir d'un certain nombre de mois, le nombre de membres inscrits sera chaque mois proche de 2 500.

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partie b

La responsable de l'association, souhaite déterminer au bout de combien de mois le nombre de membres inscrits sera inférieur à 2 900.

1. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il permette de répondre au problème posé.

   $U\leftarrow 3000$
   $N\leftarrow 0$

   Tant que $U⩾\mathrm{2 900}$
   $U\leftarrow \mathrm{0,98}\times U+50$
   $N\leftarrow N+1$
   Fin Tant que

2. En résolvant l'inéquation : $500\times {\mathrm{0,98}}^n+\mathrm{2 500}<\mathrm{2 900}$, déterminer la valeur de la variable N obtenue à la fin de l'exécution de l'algorithme précédent.

   Pour tout entier naturel n, $$\begin{array}{rcll}500\times {\mathrm{0,98}}^n+\mathrm{2 500}<\mathrm{2 900}& \iff & 500\times {\mathrm{0,98}}^n<400& \\ & \iff & {\mathrm{0,98}}^n<\mathrm{0,8}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,98}}^n\right)<\ln \mathrm{0,8}& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \mathrm{0,98}<\ln \mathrm{0,8}& \text{Pour tout réel }a\text{ strictement positif et pour tout entier }n\text{, }\ln a^n=n\ln a\\ & \iff & n>{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,8}}{\ln \mathrm{0,98}}}& \ln \mathrm{0,98}<0\end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,8}}{\ln \mathrm{0,98}}}\approx \mathrm{11,05}$ donc le plus petit entier n solution de l'inéquation $500\times {\mathrm{0,98}}^n+\mathrm{2 500}<\mathrm{2 900}$ est égal à 12.

   La valeur de la variable N obtenue à la fin de l'exécution de l'algorithme est $N=12$.

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partie c

Le montant de la cotisation mensuelle à l'association est de 10 euros. Calculer la somme totale que l'association espère obtenir pour l'année 2018.

En remarquant que $u_n=v_n+\mathrm{2 500}$, on calcule le nombre d'adhérents de l'association en utilisant la somme de termes de la suite géométrique $\left(v_n\right)$.

Une estimation du nombre d'adhérents de l'association du 1^er janvier 2018 au 1^er décembre 2018 est :$$\begin{array}{rcl}{u}_0+u_1+\dots +u_{11}& =& v_0+\mathrm{2 500}+v_1+\mathrm{2 500}+\dots +v_{11}+\mathrm{2 500}\\ & =& \underset{12\text{ termes d'une suite géométrique}}{\left(\underbrace{v_0+v_1+\dots +v_{11}}\right)}+12\times \mathrm{2 500}\\ & =& 500\times {\displaystyle \frac{1-{\mathrm{0,98}}^{12}}{1-\mathrm{0,98}}}+12\times \mathrm{2 500}\approx \mathrm{35 382}\end{array}$$

Soit une somme totale perçue de $$S=10\times \mathrm{35 382}=\mathrm{353 820}$$

La somme totale que l'association espère obtenir pour l'année 2018 est d'environ 353 820 euros.

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