contrôles en terminale ES

bac blanc du 9 Mars 2018

Corrigé de l'exercice 4

partie a

Soit f la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $f (x) = x^{2} - x \ln (x) + 20$ .
À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient les résultats ci-dessous qui pourront être utilisés sans être démontrés.

1	$f (x) : = x ˄ 2 - x * \ln (x) + 20$
	$\to f (x) = x^{2} - x \ln (x) + 20$
2	$g (x) : =$ Dériver $[f (x), x]$
	$\to g (x) = 2 x - \ln (x) - 1$
3	Dériver $[g (x), x]$
	$\to 2 - \frac{1}{x}$

Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction f est convexe.
La dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie pour tout réel x strictement positif par $f ″ (x) = 2 - \frac{1}{x} = \frac{2 x - 1}{x}$ .
Comme $x > 0$ alors, $f ″ (x)$ est du même signe que $2 x - 1$ . D'où le tableau du signe de $f ″ (x)$ :
x 0 $\frac{1}{2}$ $+ \infty$
$f ″ (x)$ − $0_{|}^{|}$ +
La fonction f est convexe sur l'intervalle $[\frac{1}{2}; + \infty [$ .

On note $f'$ la dérivée de la fonction f. Étudier les variations de la dérivée $f'$ .

La dérivée de la fonction f est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $] 0; + \infty [$ par $f' (x) = 2 x - \ln (x) - 1$ .

Les variations de la fonction dérivée $f'$ se déduisent du signe de la dérivée seconde :

x	0		$\frac{1}{2}$		$+ \infty$
$f ″ (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$f' (x)$			$\ln 2$

Calcul du minimum de la fonction $f'$ : $f' (\frac{1}{2}) = 2 \times \frac{1}{2} - \ln (\frac{1}{2}) - 1 = - \ln (\frac{1}{2}) = \ln 2$

En déduire que la fonction f est strictement croissante.
Le minimum de la dérivée $f'$ est égal à $\ln 2$ .
Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle $] 0; + \infty [$ , $f' (x) > 0$ donc la fonction f est strictement croissante.

partie b

Une entreprise produit et commercialise un article. Sa capacité de production est comprise entre 1 000 et 10 000 articles par jour.
Le coût total de production exprimé en milliers d'euros est modélisé sur l'intervalle $[1; 10]$ par la fonction f de la partie A, où x désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.

Soit $C (x)$ le coût moyen de production exprimé en euros, par article fabriqué. La fonction C est définie sur l'intervalle $[1; 10]$ par $C (x) = \frac{f (x)}{x}$ .

On note $C'$ la dérivée de la fonction f. Calculer $C' (x)$ .
La fonction C est définie sur l'intervalle $[1; 10]$ par : $C (x) = \frac{x^{2} - x \ln (x) + 20}{x} = x - \ln (x) + \frac{20}{x}$
La fonction C est dérivable comme somme de fonctions dérivables sur l'intervalle $[1; 10]$ : $C' (x) = 1 - \frac{1}{x} - \frac{20}{x^{2}} = \frac{x^{2} - x - 20}{x^{2}}$
La dérivée de la fonction C est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $[1; 10]$ par $C' (x) = \frac{x^{2} - x - 20}{x^{2}}$ .

Étudier les variations de la fonction C sur $[1; 10]$ .

Sur l'intervalle $[1; 10]$ on a $x^{2} > 0$ par conséquent, $C' (x)$ est du même signe que le polynôme du second degré $P (x) = x^{2} - x - 20$ .

Le discriminant du trinôme est : $Δ = {(- 1)}^{2} - 4 \times 1 \times (- 20) = 81$ .

Le trinôme admet deux racines distinctes : $x_{1} = \frac{1 - 9}{2} = - 4$ et $x_{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5$ .

Les variations de la fonction C se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de la fonction C :

x	1		5		10
$C' (x)$		−	$0_{\|}^{\|}$	+
$C (x)$	21		$9 - \ln 5$		$12 - \ln 10$

Montrer que l'équation $C (x) = 11$ admet une solution unique α.
- Sur l'intervalle $[1; 5]$ on a $C (1) = 21$ et $C (5) = 9 - \ln 5 \approx 7,39$ .
  Ainsi, sur l'intervalle $[1; 5]$ , la fonction C est dérivable donc continue, strictement décroissante et $C (5) < 11 < C (1)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $[a; b]$ , alors pour tout réel k compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , l'équation $f (x) = k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $[a; b]$ . l'équation $C (x) = 11$ admet une unique solution $α \in [1; 5]$ .
- Sur l'intervalle $[5; 10]$ la fonction C est strictement croissante et $C (10) = 12 - \ln 10 \approx 9,7$ par conséquent, l'équation $C (x) = 11$ n'a pas de solution sur cet intervalle.
L'équation $C (x) = 11$ admet une seule solution $α \in [1; 5]$ .
1. Si le prix de vente d'un article est de 7 €, l'entreprise fera-t-elle un bénéfice ?
  Le coût moyen minimal de production d'un article est $C (5) = 9 - \ln 5 \approx 7,39$ .
  Avec un prix de vente de 7 €, l'entreprise ne peut pas faire de bénéfice.
2. On suppose que chaque article produit est vendu au prix de 11 €.
  Déterminer l'intervalle (à la centaine d'article près) dans lequel doit se situer la production x pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif.
  L'entreprise réalise un bénéfice pour une production de x milliers d'articles tels que $C (x) < 11$ . D'après l'étude de la fonction C, on en déduit que $\begin{matrix} C (x) < 11 & \Leftrightarrow & x \in] α; 10] \end{matrix}$
  À l'aide de la calculatrice, on trouve que $α \approx 2,07$ .
  Compte tenu des capacités de production, avec un prix de vente de 11 €, l'entreprise réalise un bénéfice en produisant entre 2 100 et 10 000 articles.

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