Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats seront si nécessaire, arrondis à .
On s'intéresse à un certain modèle de tablette vendues dans un magasin.
On considère un stock important de tablettes de ce modèle.
On note E l'événement : « une tablette prélevée au hasard dans le stock est défectueuse. ». On suppose que .
On prélève au hasard 100 tablettes dans le stock. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 tablettes.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de tablettes défectueuses.
Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 tablettes donc la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres et .
On donne en annexe ci-dessous, un extrait du tableau obtenu à l'aide d'un tableur fournissant des probabilités , où k est un entier naturel compris entre 0 et 100.
k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
0,132 62 | 0,403 27 | 0,676 69 | 0,858 96 | 0,949 17 | 0,984 52 | 0,995 94 | 0,999 07 | 0,999 81 | 0,999 97 |
À l'aide de ce tableau ou de la calculatrice :
calculer la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait exactement quatre tablettes défectueuses ;
soit
Arrondie au millième près, la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait exactement quatre tablettes défectueuses est 0,09.
calculer la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait au moins deux tablettes défectueuses ;
soit
Arrondie au millième près, la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait au moins deux tablettes défectueuses est 0,597.
calculer la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait au plus six tablettes défectueuses sachant qu'au moins deux tablettes sont défectueuses.
Arrondie au millième près, la probabilité que dans un prélèvement contenant au moins deux tablettes défectueuses, il y ait au plus six tablettes défectueuses est 0,993.
Les tablettes de ce modèle proviennent de deux fournisseurs notés « fournisseur 1 » et « fournisseur 2 ».
Le fournisseur 1 a fourni 60 % des tablettes d'un lot important et le fournisseur 2 a fourni le reste de ce lot. Dans ce lot, 1 % des tablettes provenant du fournisseur 1 sont défectueuses et 1,5 % des tablettes provenant du fournisseur 2 sont défectueuses.
Un client choisi au hasard une tablette dans ce lot. On considère les événements suivants :
Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités , , et .
Le fournisseur 1 a fourni 60 % des tablettes et le fournisseur 2 a fourni le reste de ce lot d'où et .
1 % des tablettes provenant du fournisseur 1 sont défectueuses et 1,5 % des tablettes provenant du fournisseur 2 sont défectueuses d'où et .
Calculer la probabilité d'acheter une tablette défectueuse provenant du fournisseur 1.
La probabilité d'acheter une tablette défectueuse provenant du fournisseur 1 est égale à 0,006.
Déterminer la probabilité qu'une tablette soit défectueuse.
D'après la formule des probabilités totales :
Or
D'où,
La probabilité qu'une tablette soit défectueuse est égale à 0,012.
Le client a acheté une tablette non défectueuse, quelle est la probabilité que cette tablette ait été fabriqué par le fournisseur 2 ?
Il s'agit, de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement B sachant que l'évènement est réalisé.
Avec
D'où,
Arrondie au millième près, la probabilité qu'une tablette non défectueuse ait été fabriqué par le fournisseur 2 est 0,399.
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