contrôles en terminale ES

bac blanc du 9 Mars 2018

Corrigé de l'exercice 3

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats seront si nécessaire, arrondis à 10-3.

On s'intéresse à un certain modèle de tablette vendues dans un magasin.

partie a

On considère un stock important de tablettes de ce modèle.
On note E l'événement : « une tablette prélevée au hasard dans le stock est défectueuse. ». On suppose que PE=0,02.
On prélève au hasard 100 tablettes dans le stock. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 tablettes.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de tablettes défectueuses.

  1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

    Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 100 tablettes donc la variable aléatoire X suit la loi binomiale 1000,02 de paramètres n=100 et P=0,02.


  2. On donne en annexe ci-dessous, un extrait du tableau obtenu à l'aide d'un tableur fournissant des probabilités PXk, où k est un entier naturel compris entre 0 et 100.

    k0123456789
    PXk0,132 620,403 270,676 690,858 960,949 170,984 520,995 940,999 070,999 810,999 97

    À l'aide de ce tableau ou de la calculatrice :

    1. calculer la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait exactement quatre tablettes défectueuses ;

      PX=4=PX4-PX3 soit PX=4=0,949 17-0,858 960,09

      Arrondie au millième près, la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait exactement quatre tablettes défectueuses est 0,09.


    2. calculer la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait au moins deux tablettes défectueuses ;

      PX2=1-PX1 soit PX4=1-0,403 270,597

      Arrondie au millième près, la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait au moins deux tablettes défectueuses est 0,597.


    3. calculer la probabilité que dans un tel prélèvement, il y ait au plus six tablettes défectueuses sachant qu'au moins deux tablettes sont défectueuses.

      PX2X6=P2X6PX2=PX6-PX1PX2=0,995 94-0,403 270,596 730,993

      Arrondie au millième près, la probabilité que dans un prélèvement contenant au moins deux tablettes défectueuses, il y ait au plus six tablettes défectueuses est 0,993.


partie b

Les tablettes de ce modèle proviennent de deux fournisseurs notés « fournisseur 1 » et « fournisseur 2 ».
Le fournisseur 1 a fourni 60 % des tablettes d'un lot important et le fournisseur 2 a fourni le reste de ce lot. Dans ce lot, 1 % des tablettes provenant du fournisseur 1 sont défectueuses et 1,5 % des tablettes provenant du fournisseur 2 sont défectueuses.
Un client choisi au hasard une tablette dans ce lot. On considère les événements suivants :

  • A : « la tablette provient du fournisseur 1 » ;
  • B : « la tablette provient du fournisseur 2 » ;
  • D : « la tablette est défectueuse ».
  1. Déduire des informations figurant dans l'énoncé les probabilités PA, PB, PAD et PBD.

    • Le fournisseur 1 a fourni 60 % des tablettes et le fournisseur 2 a fourni le reste de ce lot d'où PA=0,6 et PB=1-PA=0,4.


    • 1 % des tablettes provenant du fournisseur 1 sont défectueuses et 1,5 % des tablettes provenant du fournisseur 2 sont défectueuses d'où PAD=0,01 et PBD=0,015.


    1. Calculer la probabilité d'acheter une tablette défectueuse provenant du fournisseur 1.

      PAD=PAD×PASoitPAD=0,6×0,01=0,006

      La probabilité d'acheter une tablette défectueuse provenant du fournisseur 1 est égale à 0,006.


    2. Déterminer la probabilité qu'une tablette soit défectueuse.

      D'après la formule des probabilités totales : PD=PAD+PBD

      Or PBD=PBD×PBSoitPBD=0,4×0,015=0,006

      D'où, PD=0,006+0,006=0,012

      La probabilité qu'une tablette soit défectueuse est égale à 0,012.


    3. Le client a acheté une tablette non défectueuse, quelle est la probabilité que cette tablette ait été fabriqué par le fournisseur 2 ?

      Il s'agit, de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement B sachant que l'évènementD¯ est réalisé. PD¯B=PBD¯PD¯

      Avec PD¯=1-PD=1-0,012=0,988etPBD¯=PB-PBD=0,4-0,006=0,394

      D'où, PD¯B=0,3940,9880,399

      Arrondie au millième près, la probabilité qu'une tablette non défectueuse ait été fabriqué par le fournisseur 2 est 0,399.



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