contrôles en terminale ES

contrôle du 17 octobre 2017

Corrigé de l'exercice 1

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé la courbe représentative $𝒞_{f}$ d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$ .

L'abscisse du point C est égale à $(- \frac{1}{2})$ .
La tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point $B (- 3; 2)$ passe par le point de coordonnées $(- 5; 0)$ .
La tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point D a pour équation $y = - x + 4$ .

On note $f'$ la dérivée de la fonction f et $f ″$ la dérivée seconde de la fonction f.

1. Tracer la tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point D.
  La droite d'équation $y = - x + 4$ passe par les points de coordonnées $(0; 4)$ et $(4; 0)$ .
2. Déterminer $f' (2)$ .
  Le nombre dérivé $f' (2)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point D d'où $f' (2) = - 1$ .
Déterminer $f' (- 3)$ et $f' (4)$ .
- Le nombre dérivé $f' (- 3)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point B d'abscisse $(- 3)$ d'où $f' (- 3) = \frac{0 - 2}{- 5 - (- 3)} = 1$ .
  Ainsi, $f' (- 3) = 1$
- La tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point E d'abscisse 4 est parallèle à l'axe des abscisses d'où $f' (4) = 0$ .
Déterminer dans chacun des cas, lequel des trois symboles ⩽, = ou ⩾ est approprié :
- La tangente à la courbe $𝒞_{f}$ au point E d'abscisse 4 est parallèle à l'axe des abscisses d'où $f' (- 5) = 0$ .
- Sur l'intervalle $] - \infty; - \frac{1}{2}]$ la fonction f est croissante d'où $f' (- 7) ⩾ 0$ et, sur l'intervalle $[- \frac{1}{2}; + \infty [$ la fonction f est décroissante d'où $f' (6) ⩽ 0$ .
  Ainsi, $f' (- 7) ⩾ f' (6)$ .
- Sur l'intervalle $[- 3; - \frac{1}{2}]$ la fonction f est concave d'où $f ″ (- 1) ⩽ 0$ et, sur l'intervalle $[2; 4]$ la fonction f est convexe d'où $f ″ (3) ⩾ 0$ .
  Ainsi, $f ″ (- 1) ⩽ f ″ (3)$ .
- La courbe $𝒞_{f}$ traverse sa tangente au point D d'abscisse 2 donc D est un point d'inflexion de la courbe $𝒞_{f}$ d'où $f ″ (2) = 0$ .
Quels sont les points d'inflexion de la courbe $𝒞_{f}$ ?
La courbe $𝒞_{f}$ traverse ses tangentes aux points A, B, D et E donc :
la courbe $𝒞_{f}$ admet les quatre points A, B, D et E comme points d'inflexion.

Une des quatre courbes $𝒞_{1}$ , $𝒞_{2}$ , $𝒞_{3}$ et $𝒞_{4}$ ci-dessous est la courbe représentative de la dérivée $f'$ et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde $f ″$ .
Déterminer la courbe qui représente la dérivée $f'$ et celle qui représente la dérivée seconde $f ″$ .

Sur l'intervalle $] - \infty; - \frac{1}{2}]$ la fonction f est croissante d'où pour tout réel x appartenant à l'intervalle $] - \infty; - \frac{1}{2}]$ on a $f' (x) ⩾ 0$ .
Sur l'intervalle $[- \frac{1}{2}; + \infty [$ la fonction f est décroissante d'où pour tout réel x appartenant à l'intervalle $[- \frac{1}{2}; + \infty [$ on a $f' (x) ⩽ 0$ .
Ainsi, la courbe $𝒞_{1}$ est la seule des quatre courbes susceptible de représenter la fonction dérivée $f'$ .
Sur l'intervalle $[- 3; 2]$ la fonction f est concave d'où pour tout réel x appartenant à l'intervalle $[- 3; 2]$ on a $f ″ (x) ⩽ 0$ .
Ainsi, la courbe $𝒞_{4}$ est la seule des quatre courbes susceptible de représenter la fonction dérivée seconde $f ″$ .


Courbe $𝒞_{1}$ représentative de la fonction $f'$	Courbe $𝒞_{2}$

Courbe $𝒞_{3}$	Courbe $𝒞_{4}$ représentative de la fonction $f ″$

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