contrôle du 17 octobre 2017

Corrigé de l'exercice 2

On considère la fonction f définie et dérivable pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3-x^2-3}{x^2+3}}$.

partie a

1. Montrer que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^4+9x^2}{{\left(x^2+3\right)}^2}}$ où $f\prime$ est la fonction dérivée de f.

   f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x^3-x^2-3& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=3x^2-2x\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2+3& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x\end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{\left(3x^2-2x\right)\times \left(x^2+3\right)-\left(x^3-x^2-3\right)\times 2x}{{\left(x^2+3\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{3x^4+9x^2-2x^3-6x-2x^4+2x^3+6x}{{\left(x^2+3\right)}^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^4+9x^2}{{\left(x^2+3\right)}^2}}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^4+9x^2}{{\left(x^2+3\right)}^2}}$.

   ---

2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ et en déduire le sens de variation de la fonction f.

   Pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^4+9x^2}{{\left(x^2+3\right)}^2}}={\displaystyle \frac{x^2\left(x^2+9\right)}{{\left(x^2+3\right)}^2}}$.

   Comme pour tout réel x on a $x^2⩾0$, $x^2+9>0$ et ${\left(x^2+3\right)}^2>0$, on en déduit que $f\prime \left(x\right)⩾0$ sur $ℝ$.

   La dérivée de la fonction f est positive donc f est strictement croissante sur $ℝ$.

   ---

3. 1. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α sur l'intervalle $\left[0;2\right]$.

      Nous avons $f\left(0\right)=-1$ et $f\left(2\right)={\displaystyle \frac{8-4-3}{4+3}}={\displaystyle \frac{1}{7}}$.

      La fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et $f\left(0\right)<0<f\left(2\right)$ alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

      l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution α sur l'intervalle $\left[0;2\right]$.

      ---

   2. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à ${10}^{-2}$ près de la solution α.

      À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{1,86}$.

      ---

partie b

On admet que la dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie sur $ℝ$ par $f″\left(x\right)={\displaystyle \frac{-6x\left(x^2-9\right)}{{\left(x^2+3\right)}^3}}$.

1. Déterminer les intervalles sur lesquels la fonction f est convexe ou concave.

   La convexité de f se déduit du signe de sa dérivée seconde.

   Pour tout réel x, $f″\left(x\right)={\displaystyle \frac{-6x\left(x^2-9\right)}{{\left(x^2+3\right)}^3}}={\displaystyle \frac{-6x\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{{\left(x^2+3\right)}^3}}$. Comme pour tout réel x on a ${\left(x^2+3\right)}^3>0$, on en déduit que $f″\left(x\right)$ est du même signe que le produit $-6x\left(x+3\right)\left(x-3\right)$.

   D'où le tableau :

   x	$-\infty$		$-3$		0		3		$+\infty$
   $-6x$		+	$|$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$|$	−
   $x^2-9$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$|$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   Sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;-3\right]$ ou $\left[0;3\right]$ la fonction f est convexe.
   Sur chacun des intervalles $\left[-3;0\right]$ ou $\left[3;+\infty \right[$ la fonction f est concave.

   ---

2. La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d'inflexion ?

   La dérivée seconde s'annule trois fois en changeant de signe donc la courbe représentative de la fonction f admet trois points d'inflexion d'abscisses respectives $-3$, 0 et 3.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Étude de fonctions, limites et dérivéeFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MFonctions (I) : Limites, dérivée de fonctions composéesConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmeLogarithme d'une fonctionPropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement d'un nuage de pointsProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.