contrôles en terminale ES

contrôle commun № 8 du 12 Avril 2018

Corrigé de l'exercice 1

Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle 0+∞.
On sait que f⁡1=-3 et que le signe de la fonction f est donné par le tableau suivant :

x02+∞
Signe de f⁡x −0||+

  1. F est la primitive de la fonction fonction f sur l'intervalle 0+∞ telle que F⁡1=1.

    1. Donner le tableau de variations de la fonction F.

      F est une primitive de la fonction fonction f sur l'intervalle 0+∞. Par conséquent, pour tout réel x strictement positif, F′⁡x=f⁡x. Les variations F se déduisent du signe de sa dérivée f :

      x02+∞
      F′⁡x=f⁡x −0||+
      F⁡x fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    2. On note 𝒞 la courbe représentative de la fonction F. Donner une équation de la tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 1.

      Une équation de la tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 1 est :y=F′⁡1×x-1+F⁡2

      Or F⁡1=1 et F′⁡1=f⁡1=-3 d'où une équation de la tangente :y=-3×x-1+1⇔y=-3⁢x+4

      La tangente à la courbe 𝒞 au point d'abscisse 1 a pour équation y=-3⁢x+4.

  2. La fonction f est définie sur l'intervalle 0+∞ par f⁡x=1-4x2. Étudier la convexité de la fonction F.

    La convexité de la fonction F se déduit du signe de sa dérivée seconde définie pour tout réel x strictement positif par F″⁡x=f′⁡x=8x3

    Donc sur l'intervalle 0+∞ on a F″⁡x>0.

    La fonction F est convexe.

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