contrôle commun № 8 du 12 Avril 2018

Corrigé de l'exercice 5

Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)}{x}}+x$.

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f. Montrer que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-2\ln \left(x\right)+2}{x^2}}$.

   • Soit g la fonction définie pour tout réel x strictement positif par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)}{x}}$. La fonction g est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables :
     $g={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $g\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x strictement positif, $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=2\ln \left(x\right)& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=1\end{array}$

     Soit pour tout réel x strictement positif, $g\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{x}}\times x-2\ln \left(x\right)}{x^2}}={\displaystyle \frac{2-2\ln \left(x\right)}{x^2}}$

   • Comme $f\left(x\right)=g\left(x\right)+x$, on en déduit que $f\prime \left(x\right)=g\prime \left(x\right)+1$. Soit pour tout réel x strictement positif, $$f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2-2\ln \left(x\right)}{x^2}}+1={\displaystyle \frac{2-2\ln \left(x\right)+x^2}{x^2}}$$

   La dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie pour tout réel x strictement positif par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-2\ln \left(x\right)+2}{x^2}}$.

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2. La dérivée seconde de la fonction f est la fonction $f″$ définie pour tout réel x strictement positif par $f″\left(x\right)={\displaystyle \frac{4\ln \left(x\right)-6}{x^3}}$.

   1. Étudier la convexité de la fonction f.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde.

      Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ on a $x^3>0$ par conséquent, $f″\left(x\right)$ est du même signe que $4\ln \left(x\right)-6$. Or $$\begin{array}{rcl}4\ln \left(x\right)-6⩾0& \iff & \ln \left(x\right)⩾{\displaystyle \frac{3}{2}}\\ & \iff & x⩾{\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}\end{array}$$

      D'où le tableau du signe de la dérivée seconde :

      x	0				${\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}$		$+\infty$
      $f″\left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

      La fonction f est concave sur $\left]0;{\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}\right]$ et convexe sur $\left[{\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}};+\infty \right[$.

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   2. En déduire le tableau des variations de la dérivée $f\prime$.

      Les variations de la fonction dérivée $f\prime$ se déduisent du signe de la dérivée seconde :

      x	0				${\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}$		$+\infty$
      $f″\left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\prime \left(x\right)$					$1-{\mathrm{e}}^{-3}$

3. Étudier les variations de la fonction f.

   Le minimum de la fonction dérivée est :$$f\prime \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}\right)={\displaystyle \frac{{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}\right)}^2-2\ln \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}\right)+2}{{\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}\right)}^2}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^3-2\times \mathrm{1,5}+2}{{\mathrm{e}}^3}}=1-{\mathrm{e}}^{-3}\approx \mathrm{0,95}$$

   Pour tout réel x strictement positif on a donc $f\prime \left(x\right)⩾1-{\mathrm{e}}^{-3}$.

   Par conséquent, sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)>0$ donc la fonction f est strictement croissante.

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4. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=0$ admet une solution unique α appartenant à l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{1}{2}};\mathrm{e}\right]$. Donner la valeur arrondie à ${10}^{-3}$ près de la solution α.

   La fonction f est dérivable donc continue, strictement croissante et $f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=4\ln \left(\mathrm{0,5}\right)+\mathrm{0,5}\approx -\mathrm{2,27}$ et $f\left(\mathrm{e}\right)={\displaystyle \frac{2}{\mathrm{e}}}+\mathrm{e}\approx \mathrm{3,45}$. Alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   L'équation $f\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha \in \left[{\displaystyle \frac{1}{2}};\mathrm{e}\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{0,753}$.

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5. 1. Montrer que la fonction G définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $G\left(x\right)={\left(\ln x\right)}^2$ est une primitive de la fonction g définie pour tout réel x strictement positif par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)}{x}}$.

      $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln x}{x}}=2\ln x\times {\displaystyle \frac{1}{x}}$. La fonction g est de la forme $g=2uu\prime$ avec pour tout réel x strictement positif, $u\left(x\right)=\ln x$ et $u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.
      Par conséquent, une primitive G de la fonction g est de la forme $G=u^2$.

      La fonction G définie pour tout réel x strictement positif par : $G\left(x\right)={\left(\ln x\right)}^2$ est une primitive de la fonction g définie par $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)}{x}}$.

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   2. En déduire une primitive F de la fonction f sur $\left]0;+\infty \right[$.

      Pour tout réel x strictement positif, $f\left(x\right)=g\left(x\right)+x$

      Une primitive de la fonction f est la fonction F définie pour tout réel x strictement positif par $F\left(x\right)={\left(\ln x\right)}^2+{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$.

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6. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{e}\right]$.

   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{e}\right]$ est :$$\begin{array}{rcl}\mu ={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}-1}}\times {\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}-1}}\times \left(F\left(\mathrm{e}\right)-F\left(1\right)\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}-1}}\times \left[\left({\left(\ln \mathrm{e}\right)}^2+{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2}{2}}\right)-\left({\left(\ln 1\right)}^2+{\displaystyle \frac{1^2}{2}}\right)\right]\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}-1}}\times \left(1+{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}-1}}\times {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2+1}{2}}\end{array}$$

   La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{e}\right]$ est le réel $\mu ={\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2+1}{2\left(\mathrm{e}-1\right)}}$.

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