Une municipalité propose aux personnes qui effectuent de nombreux déplacements deux types d'abonnement mensuel :
Une étude récente a montré que le nombre global d'abonnements reste constant dans le temps et que le nombre de personnes qui, un mois donné, acquièrent les deux abonnements est négligeable (on considère qu'un abonné ne souscrit qu'à un seul type d'abonnement « T-libre » ou « V-libre »).
On a constaté également que, chaque mois, la répartition des abonnements évolue de la manière suivante :
En janvier 2018, en raison d'un réaménagement des bornes d'emplacement des vélos, seulement 5 % des abonnements ont été souscrits au service « V-libre ».
Dans la suite de l'exercice, on note :
Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets T et V où le sommet T représente l'état « abonné au service T-libre » et V l'état « abonné au service V-libre ».
Notons l'évènement « un abonnement T-libre » est souscrit le n-ième mois après le mois de janvier 2018 et l'évènement « un abonnement V-libre » est souscrit le n-ième mois après le mois de janvier 2018.
L'étude montre que chaque mois :
22 % des abonnements « T-libre » sont remplacés par des abonnements « V-libre » d'où et .
66 % des abonnements « V-libre » sont remplacés par des abonnements « T-libre » d'où et .
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
Déterminer la matrice de transition M associée à ce graphe en respectant l'ordre des sommets.
La matrice de transition de ce graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, est : .
En février 2018, quelle a été la part des abonnements « V-libre » dans l'ensemble des abonnements ?
Soit l'état probabiliste initial. L'état probabiliste en février 2018 est soit :
En février 2018, les abonnements « V-libre » représentent 22,6 % de l'ensemble des abonnements.
Quelle est la part des abonnements « T-libre » dans l'ensemble des abonnements en avril 2018 ? Donner le résultat en pourcentage arrondi à 0,1 %.
L'état probabiliste en avril 2018 est soit :
En avril 2018, les abonnements « T-libre » représenteront environ 75 % de l'ensemble des abonnements.
Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état probabiliste converge vers un état stable avec et vérifiant :
D'où t et v vérifient la relation . Comme d'autre part, on en déduit que t et v sont solutions du système :
L'état stable du système est .
À partir d'un certain nombre de mois, la répartition des abonnements sera chaque mois, de 75 % pour les abonnements « T-libre » et 25 % pour les abonnements « V-libre ».
Montrer que pour tout entier naturel n, on a : .
M est la matrice de transition du graphe d'où pour tout entier naturel n, on a . Soit pour tout entier naturel n :
Ainsi, pour tout entier naturel n, avec d'où
Pour tout entier naturel n, on a .
Quelle est la limite de la suite ?
L'état probabiliste converge vers l'état stable donc
La suite converge vers 0,25.
Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.