contrôles en terminale ES

contrôle commun № 8 du 12 Avril 2018

Corrigé de l'exercice 4 : ES spécialité

Une municipalité propose aux personnes qui effectuent de nombreux déplacements deux types d'abonnement mensuel :

  • un abonnement « V-libre » à un service de location de vélos ;
  • un abonnement « T-libre » aux transports en commun.

Une étude récente a montré que le nombre global d'abonnements reste constant dans le temps et que le nombre de personnes qui, un mois donné, acquièrent les deux abonnements est négligeable (on considère qu'un abonné ne souscrit qu'à un seul type d'abonnement « T-libre » ou « V-libre »).

On a constaté également que, chaque mois, la répartition des abonnements évolue de la manière suivante :

  • 22 % des abonnements « T-libre » sont remplacés par des abonnements « V-libre » ;
  • 66 % des abonnements « V-libre » sont remplacés par des abonnements « T-libre ».

En janvier 2018, en raison d'un réaménagement des bornes d'emplacement des vélos, seulement 5 % des abonnements ont été souscrits au service « V-libre ».

Dans la suite de l'exercice, on note :

  • tn la probabilité qu'un abonnement soit souscrit au service « T-libre », le n-ième mois après le mois de janvier 2018.
  • vn la probabilité qu'un abonnement soit souscrit au service « V-libre », le n-ième mois après le mois de janvier 2018.
  • Pn=tnvn l'état probabiliste correspondant aux abonnements à ces deux services le n-ième mois après le mois de janvier 2018. On a donc P0=0,950,05.
    1. Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets T et V où le sommet T représente l'état « abonné au service T-libre » et V l'état « abonné au service V-libre ».

      Notons Tn l'évènement « un abonnement T-libre » est souscrit le n-ième mois après le mois de janvier 2018 et Vn l'évènement « un abonnement V-libre » est souscrit le n-ième mois après le mois de janvier 2018.
      L'étude montre que chaque mois :

      • 22 % des abonnements « T-libre » sont remplacés par des abonnements « V-libre » d'où pTnVn+1=0,22 et pTnTn+1=1-0,22=0,78.

      • 66 % des abonnements « V-libre » sont remplacés par des abonnements « T-libre » d'où pVnTn+1=0,66 et pVnVn+1=1-0,66=0,34.

      D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :

      Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
    2. Déterminer la matrice de transition M associée à ce graphe en respectant l'ordre TV des sommets.

      La matrice de transition de ce graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, Pn+1=Pn×M est : M=0,780,220,660,34.


  1. En février 2018, quelle a été la part des abonnements « V-libre » dans l'ensemble des abonnements ?

    Soit P0=0,950,05 l'état probabiliste initial. L'état probabiliste en février 2018 est P1=P0×M soit : P1=0,950,05×0,780,220,660,34=0,7740,226

    En février 2018, les abonnements « V-libre » représentent 22,6 % de l'ensemble des abonnements.


  2. Quelle est la part des abonnements « T-libre » dans l'ensemble des abonnements en avril 2018 ? Donner le résultat en pourcentage arrondi à 0,1 %.

    L'état probabiliste en avril 2018 est P3=P1×M2 soit : P3=0,7740,226×0,780,220,660,3420,750,25

    En avril 2018, les abonnements « T-libre » représenteront environ 75 % de l'ensemble des abonnements.


  3. Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.

    Les termes de la matrice de tansition M d'ordre 2 ne sont pas nuls, alors l'état probabiliste converge vers un état stable P=tv avec t+v=1 et vérifiant : tv=tv×0,780,220,660,34tv=0,78t+0,66v0,22t+0,34vsoit{t=0,78t+0,66vv=0,22t+0,34v{0,22t-0,66v=0-0,22t+0,66v=0

    D'où t et v vérifient la relation 0,22t-0,66v=0. Comme d'autre part, t+v=1 on en déduit que t et v sont solutions du système : {t+v=10,22t-0,66v=0{t+v=10,88t=0,66{t=0,75v=0,25

    L'état stable du système est P=0,750,25.
    À partir d'un certain nombre de mois, la répartition des abonnements sera chaque mois, de 75 % pour les abonnements « T-libre » et 25 % pour les abonnements « V-libre ».


    1. Montrer que pour tout entier naturel n, on a : vn+1=0,12vn+0,22.

      M est la matrice de transition du graphe d'où pour tout entier naturel n, on a Pn+1=Pn×M. Soit pour tout entier naturel n : tn+1vn+1=tnvn×0,780,220,660,34=tn×0,78+vn×0,66tn×0,22+vn×0,34

      Ainsi, pour tout entier naturel n, vn+1=0,22tn+0,34vn avec tn+vn=1 d'où vn+1=0,22×1-vn+0,34vn=0,22-0,22vn+0,34vn=0,12vn+0,22

      Pour tout entier naturel n, on a vn+1=0,12vn+0,22.


    2. Quelle est la limite de la suite vn ?

      L'état probabiliste converge vers l'état stable P=0,750,25 donc limn+vn=0,25

      La suite vn converge vers 0,25.



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