contrôle commun № 9 du 24 mai 2018

Corrigé de l'exercice 1

1. La dérivée $f\prime$ de la fonction f est :

   • méthode 1 : lecture graphique.

     Le maximum de la fonction f est atteint pour $x_0\in \left]1;2\right[$.

     • Sur l'intervalle $\left]0;x_0\right]$ la fonction f est croissante donc $f\prime$ est positive ou nulle sur l'intervalle $\left]0;x_0\right]$. Par conséquent, les propositions b et c sont fausses.
     • Sur l'intervalle $\left[x_0;+\infty \right[$ la fonction f est décroissante donc $f\prime$ est négative ou nulle sur l'intervalle $\left[x_0;+\infty \right[$. Par conséquent, la propositions a est fausse.

     La proposition d est la seule des quatre propositions susceptible de convenir.

   • méthode 2 : calcul de la dérivée.

     La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables.
     $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ avec $v\ne 0$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x strictement positif, $\{\begin{array}{lcl}u\left(x\right)=2\ln \left(x\right)+1& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=2x& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2\end{array}$

     Soit pour tout réel x trictement positif, $$f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{x}}\times 2x-2\times \left(2\ln \left(x\right)+1\right)}{4x^2}}={\displaystyle \frac{4-4\ln \left(x\right)-2}{4x^2}}={\displaystyle \frac{1-2\ln \left(x\right)}{2x^2}}$$

     Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ on a $2x^2>0$ par conséquent, $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $1-2\ln \left(x\right)$. Or $$\begin{array}{rcl}1-2\ln \left(x\right)⩽0& \iff & -2\ln \left(x\right)⩽-1\\ & \iff & \ln \left(x\right)⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & \iff & x⩾{\mathrm{e}}^{\mathrm{0,5}}\end{array}$$

     D'où le tableau du signe de la dérivée :

     x	0				$\sqrt{\mathrm{e}}$		$+\infty$
     $f\prime \left(x\right)$				+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

   ---

   1. positive ou nulle sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$ ;

   2. négative ou nulle sur l'intervalle $\left]0;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right]$ ;

   3. change de signe sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{1}{2}};1\right]$.

   4. négative ou nulle sur l'intervalle $\left[\sqrt{\mathrm{e}};+\infty \right[$.

2. La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse 1 a pour équation :

   • méthode 1 : on trace la tangente.

   • méthode 2 : équation de la tangente.

     Une équation de la tangente 𝒟 à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse 1 est :$$y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

     Or $f\left(1\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ d'où une équation de la tangente 𝒟 :$$\begin{array}{rcl}y={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \left(x-1\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}& \iff & y={\displaystyle \frac{x}{2}}\end{array}$$

   a. $y={\displaystyle \frac{x}{2}}$

   b. $y=x$

   c. $y=x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

   d. $y={\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$

3. La dérivée seconde de la fonction f est définie pour tout réel x strictement positif par $f″\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln x-2}{x^3}}$.
   La fonction dérivée $f\prime$ est :

   Les variations de la dérivée $f\prime$ se déduisent du signe de sa dérivée $f″$

   Sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ on a $x^3>0$ par conséquent, $f″\left(x\right)$ est du même signe que $2\ln \left(x\right)-2$. Or $$\begin{array}{rcl}2\ln \left(x\right)-2⩾0& \iff & \ln \left(x\right)⩾1\\ & \iff & x⩾\mathrm{e}\end{array}$$

   D'où le tableau tableau de variations de la dérivée :

   x	0				e		$+\infty$
   $f″\left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\prime \left(x\right)$

   1. croissante sur l'intervalle $\left[0;\sqrt{\mathrm{e}}\right[$ ;

   2. décroissante sur l'intervalle $\left[\sqrt{\mathrm{e}};+\infty \right[$ ;

   3. croissante sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

   4. croissante sur l'intervalle $\left[\mathrm{e};+\infty \right[$ ;

4. On admet que la fonction F définie par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{{\left(\ln x\right)}^2+\ln x}{2}}$ est une primitive de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

   • Sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{e}}};\mathrm{e}\right]$, la fonction f n'est pas positive donc la proposition a est fausse.

   • Sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{e}\right]$, la fonction f est continue, positive et $${\displaystyle {\int }_1^{\mathrm{e}}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=F\left(\mathrm{e}\right)-F\left(1\right)=1$$

     Par conséquent, la fonction f est une fonction densité de probabilité sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{e}\right]$.

   1. Sur l'intervalle $\left[{\mathrm{e}}^{-1};\mathrm{e}\right]$, f est une fonction densité de probabilité.

   2. Sur l'intervalle $\left[1;\mathrm{e}\right]$, f est une fonction densité de probabilité.

   3. La valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $\left[{\mathrm{e}}^{-2};{\mathrm{e}}^2\right]$ est égale à ${\displaystyle \frac{2}{{\mathrm{e}}^4}}$.

   4. ${\displaystyle {\int }_{{\mathrm{e}}^{-2}}^{1}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=1$.

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