contrôle commun № 9 du 24 mai 2018

Corrigé de l'exercice 2

partie a

1. Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

   D'après l'étude sur l'emploi :

   • 48,1 % des personnes qui occupent un emploi sont des femmes d'où $p\left(F\right)=\mathrm{0,481}$ et $p\left(H\right)=1-p\left(F\right)=1-\mathrm{0,481}=\mathrm{0,519}$.
   • 8,6 % des femmes en emploi ne sont pas salariées d'où $p_F\left(\overline{S}\right)=\mathrm{0,086}$ et $p_F\left(S\right)=1-p_F\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,086}=\mathrm{0,914}$.
   • 14,5 % des hommes en emploi ne sont pas salariés d'où $p_H\left(\overline{S}\right)=\mathrm{0,145}$ et $p_H\left(S\right)=1-p_H\left(\overline{S}\right)=1-\mathrm{0,145}=\mathrm{0,855}$.

   On en déduit l'arbre pondéré suivant :

2. 1. Calculer la probabilité que cette personne soit une femme et qu'elle occupe un emploi non salarié.

      $$\begin{array}{ll}& p\left(F\cap \overline{S}\right)=p_F\left(\overline{S}\right)\times p\left(F\right)\\ \text{Soit}& p\left(F\cap \overline{S}\right)=\mathrm{0,086}\times \mathrm{0,481}\approx \mathrm{0,041}\end{array}$$

      Arrondie au millième près, la probabilité qu'une personne qui exerce un emploi soit une femme qui occupe un emploi non salarié est 0,041.

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   2. Calculer la probabilité que cette personne occupe un emploi non salarié.

      D'après la formule des probabilités totales : $$p\left(\overline{S}\right)=p\left(F\cap \overline{S}\right)+p\left(H\cap \overline{S}\right)$$

      Avec $$\begin{array}{ll}& p\left(H\cap \overline{S}\right)=p_H\left(\overline{S}\right)\times p\left(H\right)\\ \text{Soit}& p\left(H\cap \overline{S}\right)=\mathrm{0,145}\times \mathrm{0,519}\approx \mathrm{0,075}\end{array}$$

      D'où $$p\left(\overline{S}\right)=\mathrm{0,041}+\mathrm{0,075}=\mathrm{0,116}$$

      La probabilité qu'une personne exerce un emploi non salarié est égale à 0,116.

      ---

3. La personne interrogée occupe un emploi non salarié. Quelle est la probabilité que ce soit une femme ?

   $$\begin{array}{lll}{p}_{\overline{S}}\left(F\right)={\displaystyle \frac{p\left(F\cap \overline{S}\right)}{p\left(\overline{S}\right)}}& \text{Soit}& p_{\overline{S}}\left(F\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,041}}{\mathrm{0,116}}}\approx \mathrm{0,353}\end{array}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'une personne non salariée soit une femme est 0,353.

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partie b

Selon la même étude, en France, 21,3 % des femmes actives de 15 à 24 ans sont au chômage.
À l'occasion de son TPE, un lycéen a interrogé 100 femmes actives de 15 à 24 ans de sa commune. Il a constaté que parmi les femmes interrogées 18 sont au chômage.

Ce lycéen peut-il considérer que dans sa commune le taux de chômage des femmes actives de 15 à 24 ans est inférieur à 21,3 % ?

• La fréquence observée des femmes actives de 15 à 24 ans qui sont au chômage dans l'échantillon est $f={\displaystyle \frac{18}{100}}=\mathrm{0,18}$

• Soit $p=\mathrm{0,213}$ la probabilité qu'une femme active de 15 à 24 ans soit au chômage. Comme $n=100$, $n\times p=\mathrm{21,3}$ et $n\times \left(1-p\right)=\mathrm{78,7}$, les conditions d'utilisation d'un intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 0,95 est : $$\begin{array}{c}I=\left[\mathrm{0,213}-\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,213}\times \mathrm{0,787}}{100}}};\mathrm{0,213}+\mathrm{1,96}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,213}\times \mathrm{0,787}}{100}}}\right]\end{array}$$

  Soit en arrondissant à ${10}^{-3}$ près les bornes de l'intervalle, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 % de la fréquence des femmes actives de 15 à 24 ans au chômage dans un échantillon de taille 100 est $I=\left[\mathrm{0,132};\mathrm{0,294}\right]$.

La fréquence observée appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, le lycéen ne peut pas considérer que dans sa commune le taux de chômage des femmes actives de 15 à 24 ans est inférieur à 21,3 %.

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partie c

Pour certaines missions à caractère temporaire, une grande entreprise emploie des salariés intérimaires.
Soit X la variable aléatoire associée au nombre de salariés intérimaires employés par l'entreprise un mois donné.
On admet que X peut être modélisé par la loi normale d'espérance $\mu =26$ et d'écart-type $\sigma =5$.

1. Calculer la probabilité $P\left(18⩽X⩽22\right)$.

   À l'aide de la calculatrice, on trouve $P\left(18⩽X⩽22\right)\approx \mathrm{0,157}$.

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2. Calculer la probabilité que sur un mois, le nombre d'employés intérimaires soit inférieur ou égal à 20.

   La calculatrice permet de déterminer la probabilité $P\left(a⩽X⩽b\right)$ quand X suit la loi normale, on peut utiliser :

   • $P\left(X⩽20\right)=P\left(X⩽26\right)-P\left(20⩽X⩽26\right)$ soit $$P\left(X⩽20\right)=\mathrm{0,5}-P\left(20⩽X⩽26\right)\approx \mathrm{0,115}$$

   • ou bien $$P\left(X⩽20\right)=P\left(0⩽X⩽20\right)\approx \mathrm{0,115}$$

   La probabilité, arrondie au millième près, que sur un mois, le nombre d'employés intérimaires soit inférieur ou égal à 20 est 0,115.

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