contrôles en terminale ES

contrôle commun № 9 du 24 mai 2018

Corrigé de l'exercice 3 : ES spécialité

partie a

Le graphe pondéré ci-dessous représente les différents terrains cultivables A, B, C, D, E, F, G et H d'une coopérative agricole céréalière.
Le poids de chaque arête représente la distance, en mètres, entre deux zones cultivables reliées par un chemin.

Est-il possible de trouver un circuit qui passe par chaque chemin une et une seule fois ?
Effectuer un parcours qui passe une seule fois par chaque chemin c'est chercher si il existe une chaîne eulérienne.
Il y quatre sommets de degré 3 : les sommets B, C, D et H, donc il n'existe pas de chaîne eulérienne.
Il n'existe pas de circuit passant par chaque chemin une et une seule fois.

À l'aide d'un algorithme, déterminer le chemin le plus court qui permet de relier la zone A à la zone G. Préciser la distance, en mètres, de ce chemin.

Pour déterminer le trajet le plus court pour aller du sommet A au sommet G, on utilise l'algorithme de Dijkstra.

A	B	C	D	E	F	G	H	Sommet sélectionné
0	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	A (0)
	310 (A)	380 (A)	∞	390 (A)	100 (A)	∞	∞	F (100)
	310 (A)	380 (A)	∞	390 (A) 220 (F)		∞	∞	E (220)
	310 (A) 305 (E)	380 (A)	640 (E)			740 (E)	670 (E)	B (305)
		380 (A) 370 (B)	640 (E)			740 (E)	670 (E)	C (370)
			640 (E) 510 (C)			740 (E)	670 (E)	D (510)
						740 (E)	670 (E) 640 (D)	H (640)
						740 (E) 730 (H)		G (730)

Le sommet G étant marqué, pour lire la chaîne de poids minimal, on part de G et on remonte la chaîne en suivant les prédécesseurs. $G \leftarrow H \leftarrow D \leftarrow C \leftarrow B \leftarrow E \leftarrow F \leftarrow A$ .

Le chemin le plus court permettant de relier la zone A à la zone G est A - F - E - B - C - D - H - G, la distance parcourue est de 730 mètres.

partie b

Afin de permettre la reconstitution de la fertilité du sol, il a été décidé de planter de la moutarde sur une partie des sols ensemencés avec des céréales. Ces terres sont dites de jachère.

D'une année sur l'autre :

6 % des champs qui ont été ensemencés avec des céréales sont laissés en jachère ;
24 % des champs laissés en jachère sont ensemencés avec des céréales.

Pour tout entier naturel n, on note :

$c_{n}$ la probabilité qu'un champ soit ensemencé avec des céréales la n-ième année après la décision de laisser en jachère une partie des sols ;
$j_{n}$ la probabilité qu'un champ soit laissé en jachère la n-ième année après la décision de laisser en jachère une partie des sols.

La matrice ligne $P_{n} = (\begin{matrix} c_{n} & j_{n} \end{matrix})$ traduit l'état probabiliste la n-ième année après la décision de laisser en jachère une partie des sols ensemencés avec des céréales.

Au moment de la décision, tous les champs étaient ensemencés avec des céréales. On a donc $P_{0} = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix})$ .

Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets C et J où le sommet C représente l'état « le champ est ensemencé avec des céréales » et J l'état « champ est laissé en jachère ».
D'une année sur l'autre :
- 6 % des champs qui ont été ensemencés avec des céréales sont laissés en jachère d'où $p_{C_{n}} (J_{n + 1}) = 0,06$ et $p_{C_{n}} (C_{n + 1}) = 1 - 0,06 = 0,94$ .
- 24 % des champs laissés en jachère sont ensemencés avec des céréales d'où $p_{J_{n}} (C_{n + 1}) = 0,24$ et $p_{J_{n}} (J_{n + 1}) = 1 - 0,24 = 0,76$ .
D'où le graphe probabiliste correspondant à cette situation :
Déterminer la matrice de transition M associée à ce graphe en respectant l'ordre $(C; J)$ des sommets.
La matrice ligne $P_{n} = (\begin{matrix} c_{n} & j_{n} \end{matrix})$ traduit l'état probabiliste la n-ième année après la décision de laisser en jachère une partie des sols donc :
la matrice de transition du graphe probabiliste telle que pour tout entier naturel n, $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ est : $M = (\begin{matrix} 0,94 & 0,06 \\ 0,24 & 0,76 \end{matrix})$ .
Calculer l'état probabiliste $P_{2}$ et interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
$P_{2} = P_{0} \times M^{2}$ soit : $\begin{matrix} P_{2} & = & (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}) \times {(\begin{matrix} 0,94 & 0,06 \\ 0,24 & 0,76 \end{matrix})}^{2} & = & (\begin{matrix} 0,898 & 0,102 \end{matrix}) \end{matrix}$
$P_{2} = (\begin{matrix} 0,898 & 0,102 \end{matrix})$ . La deuxième année 10,2 % des champs sont laissés en jachère.
Soit la matrice ligne $P = (\begin{matrix} x & y \end{matrix})$ associée à l'état stable du graphe probabiliste.
Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
L'état stable est $P = (\begin{matrix} x & y \end{matrix})$ avec $x + y = 1$ et tel que : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} x & y \end{matrix}) = (\begin{matrix} x & y \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,94 & 0,06 \\ 0,24 & 0,76 \end{matrix}) & \Leftrightarrow & (\begin{matrix} x & y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0,94 x + 0,24 y & 0,06 x + 0,76 y \end{matrix}) \\ soit & {\begin{matrix} x = 0,94 x + 0,24 y \\ y = 0,06 x + 0,76 y \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} 0,06 x - 0,24 y = 0 \\ - 0,06 x + 0,24 y = 0 \end{matrix} \end{array}$
D'où x et y vérifient la relation $0,06 x - 0,24 y = 0$ . Comme d'autre part, $x + y = 1$ on en déduit que x et y sont solutions du système : $\begin{array}{rcl} {\begin{array}{lcr} 0,06 x - 0,24 y & = & 0 \\ x + y & = & 1 \end{array} & \Leftrightarrow & {\begin{array}{lcl} 0,3 x & = & 0,24 \\ x + y & = & 1 \end{array} \\ \Leftrightarrow & {\begin{matrix} x = 0,8 \\ y = 0,2 \end{matrix} \end{array}$
L'état probabiliste converge vers l'état stable $P = (\begin{matrix} 0,8 & 0,2 \end{matrix})$ . À partir d'un certain nombre d'années, tous les ans, 80 % des champs sont ensemencés avec des céréales et 20 % des champs sont laissés en jachère.
Montrer que pour tout entier naturel n, on a : $c_{n + 1} = 0,7 c_{n} + 0,24$ .
M est la matrice de transition du graphe d'où pour tout entier naturel n, on a $P_{n + 1} = P_{n} \times M$ . Soit pour tout entier naturel n : $\begin{array}{rcl} (\begin{matrix} c_{n + 1} & j_{n + 1} \end{matrix}) & = & (\begin{matrix} c_{n} & j_{n} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} 0,94 & 0,06 \\ 0,24 & 0,76 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} c_{n} \times 0,94 + j_{n} \times 0,24 & c_{n} \times 0,06 + j_{n} \times 0,76 \end{matrix}) \end{array}$
Ainsi, pour tout entier naturel n, $c_{n + 1} = 0,94 c_{n} + 0,24 j_{n}$ avec $c_{n} + j_{n} = 1$ d'où $\begin{array}{rcl} c_{n + 1} & = & 0,94 c_{n} + 0,24 \times (1 - c_{n}) \\ = & 0,7 c_{n} + 0,24 \end{array}$
Pour tout entier naturel n, on a $c_{n + 1} = 0,7 c_{n} + 0,24$ .
Pour tout entier naturel n, on pose $v_{n} = c_{n} - 0,8$ .
1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison0,7. On précisera la valeur de $v_{0}$ .
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & c_{n + 1} - 0,8 \\ = & 0,7 c_{n} + 0,24 - 0,8 \\ = & 0,7 c_{n} - 0,56 \\ = & 0,7 \times (c_{n} - 0,8) \\ = & 0,7 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,7 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,7 dont le premier terme $v_{0} = 1 - 0,8 = 0,2$ .
2. En déduire que, pour tout entier naturel n, $c_{n} = 0,8 + 0,2 \times {0,7}^{n}$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,7 et de premier terme $v_{0} = 0,2$ donc pour tout entier naturel n, on a : $v_{n} = 0,2 \times {0,7}^{n}$
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = c_{n} - 0,8 \Leftrightarrow c_{n} = v_{n} + 0,8$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $c_{n} = 0,8 + 0,2 \times {0,7}^{n}$
Résoudre l'inéquation $c_{n} ⩽ 0,81$ et interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} 0,8 + 0,2 \times {0,7}^{n} ⩽ 0,81 & \Leftrightarrow & 0,2 \times {0,7}^{n} ⩽ 0,01 \\ \Leftrightarrow & {0,7}^{n} ⩽ 0,05 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,7}^{n}) ⩽ \ln 0,05 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,7 ⩽ \ln 0,05 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln 0,05}{\ln 0,7} & \ln 0,7 < 0 \end{array}$
Or $\frac{\ln 0,05}{\ln 0,7} \approx 8,4$ donc le plus petit entier n solution de l'inéquation $c_{n} ⩽ 0,81$ est égal à 9.
À partir de la neuvième année, la proprtion des champs ensemencés avec des céréales sera comprise entre 80 % et 81 %.

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