contrôles en terminale ES

contrôle commun № 9 du 24 mai 2018

Corrigé de l'exercice 3 : ES obligatoire et L spécialité

On considère la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 50$ et pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,84 u_{n} + 24$ .

Calculer $u_{2}$ .
$\begin{array}{l} u_{1} = 0,84 \times 50 + 24 = 66 \\ u_{2} = 0,84 \times 66 + 24 = 79,44 \end{array}$
Ainsi, $u_{2} = 79,44$ .
Pour tout entier naturel n, on pose : $v_{n} = u_{n} - 150$ .
1. Démontrer que la suite $(v_{n})$ est géométrique de raison 0,84. On précisera la valeur de $v_{0}$ .
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 150 \\ = & 0,84 u_{n} + 24 - 150 \\ = & 0,84 u_{n} - 126 \\ = & 0,84 \times (u_{n} - 150) \\ = & 0,84 v_{n} \end{array}$
  Ainsi, pour tout entier naturel n, $v_{n + 1} = 0,84 v_{n}$ donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,84 dont le premier terme $v_{0} = 50 - 150 = - 100$ .
2. En déduire que, pour tout entier naturel n, $u_{n} = 150 - 100 \times {0,84}^{n}$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,84 et de premier terme $v_{0} = - 100$ donc pour tout entier naturel n, on a : $v_{n} = - 100 \times {0,84}^{n}$
  Comme pour tout entier naturel n, $v_{n} = u_{n} - 150 \Leftrightarrow u_{n} = v_{n} + 150$ on en déduit que :
  pour tout entier naturel n, $u_{n} = 150 - 100 \times {0,84}^{n}$
Étudier le sens de variation de la suite $(u_{n})$ .
Pour tout entier n, $\begin{array}{l} u_{n + 1} - u_{n} & = & (150 - 100 \times {0,84}^{n + 1}) - (150 - 100 \times {0,84}^{n}) \\ = & 150 - 100 \times {0,84}^{n + 1} - 150 + 100 \times {0,84}^{n} \\ = & 100 \times {0,84}^{n} \times (- 0,84 + 1) \\ = & 16 \times {0,84}^{n} \end{array}$
Or pour tout entier n, $16 \times {0,84}^{n} > 0$ , donc :
pour tout entier n, $u_{n + 1} - u_{n} > 0$ . La suite $(u_{n})$ est strictement croissante.
Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .
$0 < 0,84 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,84}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 150 - 100 \times {0,84}^{n} = 150$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 150$ .
La suite $(u_{n})$ converge vers 150.
1. Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il détermine le plus petit entier naturel n tel que $u_{n} ⩾ 145$ .
  $U \leftarrow 50$
  $N \leftarrow 0$
  Tant que $U < 145$
  $U \leftarrow 0,84 \times U + 24$
  $N \leftarrow N + 1$
  Fin Tant que
2. Calculer la valeur de la variable N obtenue à la fin de l'exécution de l'algorithme en résolvant l'inéquation $u_{n} ⩾ 145$ .
  Pour tout entier naturel n, $\begin{array}{rcll} 150 - 100 \times {0,84}^{n} ⩾ 145 & \Leftrightarrow & - 100 \times {0,84}^{n} ⩾ - 5 \\ \Leftrightarrow & {0,84}^{n} ⩽ 0,05 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,84}^{n}) ⩽ \ln 0,05 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,84 ⩽ \ln 0,05 & Pour tout réel a strictement positif et pour tout entier n, \ln a^{n} = n \ln a \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln 0,05}{\ln 0,84} & \ln 0,84 < 0 \end{array}$
  Or $\frac{\ln 0,05}{\ln 0,84} \approx 17,2$ donc le plus petit entier n solution de l'inéquation $u_{n} ⩾ 145$ est égal à 18.
  La valeur de la variable N obtenue à la fin de l'exécution de l'algorithme est $N = 18$ .

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