contrôles en terminale ES

contrôle commun № 9 du 24 mai 2018

Corrigé de l'exercice 4

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0;10] par :f(x)=(4x+8)e-0,2x-7 On note 𝒞f la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle [0;10].

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. On admet que la courbe 𝒞f admet le point B d'abscisse 8 comme seul point d'inflexion. À l'aide du graphique :

    1. déterminer l'intervalle sur lequel la fonction f est concave ;

      Le point B d'abscisse 8 et le seul point d'inflexion de la courbe 𝒞f et, sur l'intervalle [0;8], la courbe 𝒞f est en dessous de ses tangentes.

      Par conséquent, la fonction f est concave sur l'intervalle [0;8].


    2. donner le tableau des variations de la dérivée f de la fonction f.

      Le point B d'abscisse 8 et le seul point d'inflexion de la courbe 𝒞f par conséquent, la fonction f change de convexité pour x=5.

      Comme d'autre part, la fonction f est concave sur l'intervalle [0;8], on en déduit le tableau des variations de la dérivée f de la fonction f :

      x0810
      f(x)fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  2. Justifier que pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;10] on a f(x)=(-0,8x+2,4)e-0,2x.

    f=uv-7 d'où f=uv+uv avec pour tout réel x de l'intervalle [0;10] : {u(x)=4x+8;u(x)=4v(x)=e-0,2x;v(x)=-0,2e-0,2x

    Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle [0;10]: f(x)=4×e-0,2x+(4x+8)×(-0,2e-0,2x)=(4-0,2×(4x+8))×e-0,2x=(4-0,8x-1,6)×e-0,2x=(-0,8x+2,4)×e-0,2x

    Ainsi, f est la fonction définie sur l'intervalle [0;10] par f(x)=(-0,8x+2,4)e-0,2x.


    1. Étudier le signe de f(x) sur l'intervalle [0;10].

      Pour tout réel x, e-0,2x>0 donc f(x) est du même signe que (-0,8x+2,4). Or -0,8x+2,40x3

      Nous pouvons établir le tableau du signe de f(x) :

      x0310
      f(x)+0||
    2. Dresser le tableau de variation de la fonction f sur cet intervalle.
      On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variation sous forme approchée à 0,001 près.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      x0310
      f(x)+0||
      f(x)

      1

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      3,976

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      -0,504

  3. Montrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution α. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à 0,001 près de α.

    L'équation f(x)=0 admet une unique solution α. À l'aide de la calculatrice, on trouve que α9,346


  4. Donner une équation de la tangente T à la courbe 𝒞f au point A d'abscisse 0.

    Une équation de la tangente T à la courbe 𝒞f au point A d'abscisse 0 est :y=f(0)×x+f(0)

    Avec f(0)=1 et f(0)=2,4 d'où :

    la tangente à la courbe 𝒞f au point A d'abscisse 0 a pour équation y=2,4x+1.


  5. À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu l'expression d'une primitive G de la fonction g :

     1 g(x):=(a*x+b)*exp(-0,2*x)
    g(x)=(ax+b)e-0,2x
     2 G(x):= Primitive [g(x),x]
    G(x)=(-5ax-25a-5b)e-0,2x

    Justifier que la fonction F définie par F(x)=(-20x-140)e-0,2x-7x est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [0;10].

    Sur l'intervalle [0;10], on a f(x)=g(x)-7 avec a=4 et b=8. D'après le résultat obtenu par le logiciel de calcul formel, une primitive F de la fonction f est définie par :F(x)=(-5×4×x-25×4-5×8)e-0,2x-7x=(-20x-140)e-0,2x-7x

    Ainsi, la fonction F définie pour tout réel x de l'intervalle [0;10] par F(x)=(-20x-140)e-0,2x-7x est une primitive de la fonction f.


  6. Calculer la valeur exacte de l'aire 𝒜, en unité d'aire, du domaine hachuré délimité par la courbe 𝒞f, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=5.

    D'après l'étude de la fonction f, sur l'intervalle [0;5], la fonction est positive. Par conséquent, l'aire 𝒜, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe 𝒞f, l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation x=5 est égale à l'intégrale de la fonction f, sur l'intervalle [0;5].

    𝒜=05f(x)dx=F(5)-F(0)=(-240e-1-35)-(-140)=105-240e-1

    L'aire 𝒜 du domaine hachuré est égale à (105-240e-1) unités d'aire.



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