On considère la fonction f définie sur l'intervalle par : On note la courbe représentative de la fonction f sur l'intervalle .
On admet que la courbe admet le point B d'abscisse 8 comme seul point d'inflexion. À l'aide du graphique :
déterminer l'intervalle sur lequel la fonction f est concave ;
Le point B d'abscisse 8 et le seul point d'inflexion de la courbe et, sur l'intervalle , la courbe est en dessous de ses tangentes.
Par conséquent, la fonction f est concave sur l'intervalle .
donner le tableau des variations de la dérivée de la fonction f.
Le point B d'abscisse 8 et le seul point d'inflexion de la courbe par conséquent, la fonction f change de convexité pour .
Comme d'autre part, la fonction f est concave sur l'intervalle , on en déduit le tableau des variations de la dérivée de la fonction f :
x | 0 | 8 | 10 | ||
Justifier que pour tout nombre réel x de l'intervalle on a .
d'où avec pour tout réel x de l'intervalle :
Soit pour tout nombre réel x de l'intervalle :
Ainsi, est la fonction définie sur l'intervalle par .
Étudier le signe de sur l'intervalle .
Pour tout réel x, donc est du même signe que . Or
Nous pouvons établir le tableau du signe de :
x | 0 | 3 | 10 | ||
+ | − |
Dresser le tableau de variation de la fonction f sur cet intervalle.
On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variation sous forme approchée à 0,001 près.
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
x | 0 | 3 | 10 | ||
+ | − | ||||
1 |
Montrer que l'équation admet une unique solution α. À l'aide de la calculatrice, donner la valeur arrondie à 0,001 près de α.
Sur l'intervalle la fonction f est strictement croissante et . Par conséquent, pour tout réel x de l'intervalle on a donc l'équation n'a pas de solution sur cet intervalle.
Sur l'intervalle on a et .
Sur l'intervalle , la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et alors, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle , alors pour tout réel k compris entre et , l'équation admet une solution unique α située dans l'intervalle . l'équation admet une unique solution .
L'équation admet une unique solution α. À l'aide de la calculatrice, on trouve que
Donner une équation de la tangente T à la courbe au point A d'abscisse 0.
Une équation de la tangente T à la courbe au point A d'abscisse 0 est :
Avec et d'où :
la tangente à la courbe au point A d'abscisse 0 a pour équation .
À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu l'expression d'une primitive G de la fonction g :
1 | |
2 | Primitive |
Justifier que la fonction F définie par est une primitive de la fonction f sur l'intervalle .
Sur l'intervalle , on a avec et . D'après le résultat obtenu par le logiciel de calcul formel, une primitive F de la fonction f est définie par :
Ainsi, la fonction F définie pour tout réel x de l'intervalle par est une primitive de la fonction f.
Calculer la valeur exacte de l'aire 𝒜, en unité d'aire, du domaine hachuré délimité par la courbe , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation .
D'après l'étude de la fonction f, sur l'intervalle , la fonction est positive. Par conséquent, l'aire 𝒜, en unité d'aire, du domaine délimité par la courbe , l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation est égale à l'intégrale de la fonction f, sur l'intervalle .
L'aire 𝒜 du domaine hachuré est égale à unités d'aire.
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